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1、经典几何模型之隐圆经典几何模型之隐圆” “圆来如此简单圆来如此简单” 段廉洁段廉洁 一一. .名称由来名称由来 在中考数学中在中考数学中， 有一类高频率考题有一类高频率考题， 几乎每年各地都会出现几乎每年各地都会出现， 明明图形中没有出现明明图形中没有出现 “圆圆” ， 但是解题中必须用到但是解题中必须用到“圆圆”的知识点，像这样的题我们称之为的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型隐圆模型” 。 正所谓正所谓：有有“圆圆”千里来相会千里来相会，无无“圆圆”对面不相逢对面不相逢。 “隐圆模型隐圆模型”的题的关键突破口的题的关键突破口 就在于能否看出这个就在于能否看出这个“隐藏的圆隐藏的圆” 。
2、一旦。一旦“圆圆”形毕露，则答案手到擒来！形毕露，则答案手到擒来！ 二二. .模型建立模型建立 【模型一：定弦定角】【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变） 】 【模型三：直角所对的是直径】【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】【模型四：四点共圆】 三模型基本类型图形解读三模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的【模型一：定弦定角的“前世今生前世今生” 】 【模型二：动点到定点定长】【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】【模型三：直角所对的
3、是直径】 【模型四：四点共圆】【模型四：四点共圆】 四四 “隐圆隐圆”破解策略破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。直角必有外接圆，对角互补也共圆。 五五 “隐圆隐圆”题型知识储备题型知识储备 六六 “隐圆隐圆”典型例题典型例题 【模型一：定弦定角】【模型一：定弦定角】 1.1.（20172017 威海）如图威海）如图 1 1，ABC 为等边三角形，为等边三角形，AB=2=2，若，若 P 为为ABC 内一动点，且满足内一动点，且满足 PAB= =ACP，则线段，则线段 PB 长度的最小值为长度的最小值为_
4、。 简答简答： 因为因为PAB= =PCA， PAB+ +PAC=60=60， 所以所以PAC+ +PCA=60=60， 即即APC=120=120。 因为因为 AC 定长定长、 APC=120=120定角定角， 故满足故满足 “定弦定角模型定弦定角模型” ， P 在圆上在圆上， 圆周角圆周角APC=120=120， 通过简单推导可知圆心角通过简单推导可知圆心角AOC=60=60， 故以故以 AC 为边向下作等边为边向下作等边AOC，以以 O 为圆心为圆心，OA 为半径作为半径作O，P 在在O 上上。当当 B、P、O 三点共线时三点共线时，BP 最短最短（知识储备一知识储备一：点圆距离点圆距离
5、） ， 此时此时 BP=2=23-2-2 2.如图如图 1 1 所示，边长为所示，边长为 2 2 的等边的等边ABC 的原点的原点 A 在在 x 轴的正半轴上移动，轴的正半轴上移动，BOD=30=30， 顶点顶点 A 在射线在射线 OD 上移动，则顶点上移动，则顶点 C 到原点到原点 O 的最大距离为的最大距离为_。 简答：因为简答：因为AOB=30=30（定角（定角） ，AB=2=2（定弦（定弦） ，故，故 A、B、O 三点共圆，圆心角为三点共圆，圆心角为 6060， 故以故以 AB 为边向为边向 O 方向作等边方向作等边ABQ，AQB=60=60为圆心角为圆心角，Q 为圆心为圆心，以以 Q
6、A 为半径作为半径作 Q （ 如 图（ 如 图 2 2 ）， 由 知 识 储 备 二 可 知 当， 由 知 识 储 备 二 可 知 当 OC AB 时 ，时 ， OC 距 离 最 大 ，距 离 最 大 ， OC= =OQ+ +QH+ +HC=2+=2+3+ +3=2+2=2+23【思考：若【思考：若BOD=45=45呢？（提示：需要构造倍角呢？（提示：需要构造倍角 模型模型） 】 3.3.如图如图 1 1，点，点 A 是直线是直线 y=-=-x 上的一个动点，点上的一个动点，点 B 是是 x 轴上的动点，若轴上的动点，若 AB=2=2，则，则AOB 面面 积最大值为（积最大值为（） A.A.
7、2 2B. .12 C. .12 D. .22 简答简答： 因为因为 AB=2=2 （定弦定弦） ， AOB=135=135（定角定角） ， 因为因为AOB 是圆周角是圆周角，故圆心角为故圆心角为 9090， 以以 AB 为斜边向上方作等腰直角为斜边向上方作等腰直角QAB，则，则 Q 为圆心（如图为圆心（如图 2 2） ，由，由“知识储备二知识储备二”可知，可知， 当当 OQ AB 时 ， 此 时时 ， 此 时 OAB 的 高的 高 OH 最 大 ， 面 积 最 大 。 面 积 为最 大 ， 面 积 最 大 。 面 积 为 11 2 ( 21)21 22 AB OH，所以此题选择，所以此题选择
8、 B。 同学：老师，你说错答案了，选同学：老师，你说错答案了，选 C。小段老师：没错啊，就选小段老师：没错啊，就选 B 啊。啊。 同学：你是老师，你说了算，你开心就好同学：你是老师，你说了算，你开心就好 小段老师小段老师：题目有告诉你们题目有告诉你们 A、B 在哪里吗在哪里吗，为什么想当然觉得为什么想当然觉得AOB=135=135呢呢，难道不可难道不可 能等于能等于 4545吗？如图吗？如图 3 3，构建，构建Q，由，由“知识储备二知识储备二”可知当可知当 OQAB 时，此时时，此时OAB 的的 面积最大为面积最大为 11 2 ( 2+1)2+1 22 AB OH，故答案选，故答案选 B 4.
9、4.如图如图 1 1，AC 为边长为为边长为32的菱形的菱形 ABCD 的对角线的对角线，ABC=60=60，点点 M、N 分别从点分别从点 B、 C 同时出发，以相同速度沿同时出发，以相同速度沿 BC、CA 向终点向终点 C 和和 A 运动，连接运动，连接 AM 和和 BN，求，求APB 周长周长 的最大值的最大值 简答简答： 如图如图 2 2， 由由 M、 N 点速度相同可知点速度相同可知 BM= =CN， 易证易证ABMBCN， 故故NBC= =BAM （如图（如图 2 2） ，又因为，又因为NBC+ +ABN=60=60，所以，所以BAM+ +ABN= =APN=60=60（外角性质（
10、外角性质） ， 所以所以APB=120=120（定角定角） ，又因为又因为 AB 长度固定长度固定（定弦定弦） ，故以故以 AB 为底向左侧构建等腰为底向左侧构建等腰 QAB，AQB=120=120，则则 P 在在Q 上上，由由“知识储备三知识储备三”可知可知，当当ABP 是等腰三角形时是等腰三角形时， ABP 周长最短。又由周长最短。又由APB 是定角为是定角为 120120的等腰三角形，故的等腰三角形，故 AP: :BP: :AB=1:1:=1:1:3， AB= =AC=2=23，故 ，故 PB= =PA=2=2，故，故 ABP 的周长最大值为的周长最大值为 4+24+23 【模型二：动点
11、到定点定长】【模型二：动点到定点定长】 1.1.如图如图 1 1，四边形，四边形 ABCD 中，中，AB= =AC= =AD, ,若若CAD=76=76，则，则CBD=_=_度。度。 简答：如图简答：如图 2 2，因为，因为 AB= =AC= =AD，故，故 B、C、D 三点在以三点在以 A 为圆心的圆上，故为圆心的圆上，故CBD= = 1 2 CAD=38=38 2.2.如图如图，在在ABC 内有一点内有一点 D，使得使得 DA= =DB= =DC，若若DAB=20=20，则则ACB=_=_。 简答简答：如图如图 2 2，因为因为 DA= =DB= =DC，故故 A、B、C 三点在三点在D
12、上上，DAB= =DBA=20=20，故故 ADB=140=140，故，故ACB= = 1 2 ADB=70=70 3.3.如图如图 1 1，已知四边形已知四边形 ABCD 中，中，ABCD，AB= =AC= =AD=5=5，BC=6=6，求，求 BD 简答： 因为1=2， ADBC，故3=1， 4=2， 故易证AEBACD， 故 EB=CD=6， ED=2AD=10，故 BD=8 4.4.如图如图 1 1，长长 2 2 米的梯子米的梯子 AB 竖直放在墙角竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯梯 子子 AB 的中点的中点 P 的移动轨迹长度
13、为？的移动轨迹长度为？ . 简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点 P 到定点 O 的距离始终等于 1， 满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆） ，故 P 的运动轨迹是圆弧，圆心 角为 90，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。 5.5.在矩形在矩形 ABCD 中，已知中，已知 AB=2=2，BC=3=3，现有一根长为，现有一根长为 2 2 的木棒的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即紧贴着矩形的边（即 两个端点始终落在矩形的边上两个端点始终落在矩形的边上） ，接逆时针方向滑动一周接逆时针方向滑动一周，则木棒则木棒 EF 的中点的中点 P 在运动过程在运动过程 中所围成的
14、围形的面积为中所围成的围形的面积为？ 如图如图 1 1如图如图 2 2 简答：由上一题可知，简答：由上一题可知，P 的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点 P 所围所围 成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案：成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案：6 6.6.如图如图 1 1，在矩形在矩形 ABCD 中中，AB=2=2，AD=3=3，点点 E，F 分别为分别为 AD、DC 边上的点边上的点，且且 EF=2=2， G 为为 EF 的中点，的中点，P 为为 BC 边上一动点，
15、则边上一动点，则 PA+ +PG 的最小值为的最小值为？ 如图如图 1 1如图如图 2 2 简单简单：G 的运动轨迹为圆的运动轨迹为圆，求求 AP+ +PG 典型的典型的“将军饮马将军饮马”问题问题，故做故做 A 关于关于 BC 的对称的对称点点 A ，则，则 AP+ +PG= =AP+ +PG，当，当 A 、P、G 三点共线时，最短，又因为三点共线时，最短，又因为 A为固定点，为固定点，G 在在 圆上运动，由圆上运动，由“知识储备一知识储备一”可知当可知当 A 、G、D 三点共线时，此时三点共线时，此时 AG 最短，为最短，为 4 4 7.7.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，点点 A 的坐标为的坐
