《历年考研数学一真题与答案(1987-2015年) - 修改》由会员分享，可在线阅读，更多相关《历年考研数学一真题与答案(1987-2015年) - 修改（116页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、历年考研数学一真题历年考研数学一真题 1987-20151987-2015 19871987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)当当x=_=_时时, ,函数函数2xyx取得极小值取得极小值. . (2)(2)由曲线由曲线 lnyx与两直线与两直线e1yx及及0y 所围成的平面图形的面积是所围成的平面图形的面积是_._. 1x (3)(3)与两直线与两直线
2、1yt 2zt 及及 121 111 xyz 都平行且过原点的平面方程为都平行且过原点的平面方程为_._. (4)(4)设设L为取正向的圆周为取正向的圆周 22 9,xy则曲线积分则曲线积分 2 (22 )(4 ) L xyy dxxx dy = = _._. (5)(5)已知三维向量空间的基底为已知三维向量空间的基底为 123 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量则向量(2, 0, 0)在此基底在此基底 下的坐标是下的坐标是_._. 二、二、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 求正的常数求正的常数a与与, b使等式使等式 2 200 1 lim1 sin x x t
3、 dt bxx at 成立成立. . 三、三、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) (1)(1)设设f、g为连续可微函数为连续可微函数,( ,),(),ufx xyvg xxy求求 ,. uv xx (2)(2)设矩阵设矩阵A和和B满足关系式满足关系式 2,AB = AB其中其中 301 110 , 014 A求矩阵求矩阵.B 四、四、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 求微分方程求微分方程 2 6(9)1yyay的通解的通解, ,其中常数其中常数0.a 五、选择题五、选择题( (本题共本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1212 分分. .每
4、小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 个符合题目要求个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)(1)设设 2 ( )( ) lim1, () xa f xf a xa 则在则在xa处处 (A)(A) ( )fx的导数存在的导数存在, ,且且( )0fa(B)(B)( )fx取得极大值取得极大值 (C)(C) ( )fx取得极小值取得极小值(D)(D)( )fx的导数不存在的导数不存在 (2)(2)设设 ( )fx为已知连续函数为已知连续函数 0 ,(), s t Itf tx dx 其中其中0,0,ts则则I的值的
5、值 (A)(A)依赖于依赖于s和和t(B)(B)依赖于依赖于s、t和和x (C)(C)依赖于依赖于t、x, ,不依赖于不依赖于s(D)(D)依赖于依赖于s, ,不依赖于不依赖于t (3)(3)设常数设常数 0,k 则级数则级数 2 1 ( 1)n n kn n (A)(A)发散发散(B)(B)绝对收敛绝对收敛 (C)(C)条件收敛条件收敛(D)(D)散敛性与散敛性与k的取值有关的取值有关 (4)(4)设设A为为n阶方阵，且阶方阵，且A的行列式的行列式| |0,aA而而 * A是是A的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则 * |A等于等于 (A)(A)a(B)(B) 1 a (C)(C) 1n a D)D
6、) n a 六六、 （本题满分（本题满分 1010 分）分） 求幂级数求幂级数 1 1 1 2 n n n x n 的收敛域，并求其和函数的收敛域，并求其和函数. . 七七、 （本题满分（本题满分 1010 分）分） 求曲面积分求曲面积分 2 (81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy 其中其中是由曲线是由曲线 113 ( ) 0 zyy f x x 绕绕y轴旋转一周而成的曲面轴旋转一周而成的曲面, ,其法向量与其法向量与y轴正向的轴正向的 夹角恒大于夹角恒大于 . 2 八八、 （本题满分（本题满分 1010 分）分） 设函数设函数 ( )fx在闭区间在闭区间0,1上可微上可微,
7、 ,对于对于0,1上的每一个上的每一个, x函数函数( )fx的值都在开区间的值都在开区间(0,1)内内, , 且且 ( )fx1,1,证明在证明在(0,1)内有且仅有一个内有且仅有一个, x使得使得( ).f xx 九九、 （本题满分（本题满分 8 8 分）分） 问问,a b为何值时为何值时, ,现线性方程组现线性方程组 1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax 有唯一解有唯一解, ,无解无解, ,有无穷多解有无穷多解? ?并求出有无穷多解时的通解并求出有无穷多解时的通解. . 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 3 3
8、小题小题, ,每小题每小题 2 2 分分, ,满分满分 6 6 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)设在一次实验中设在一次实验中, ,事件事件A发生的概率为发生的概率为 ,p现进行 现进行n次独立试验次独立试验, ,则则A至少发生一次的概至少发生一次的概 率为率为_;_;而事件而事件A至多发生一次的概率为至多发生一次的概率为_._. (2)(2)有两个箱子有两个箱子, ,第第 1 1 个箱子有个箱子有 3 3 个白球个白球,2,2 个红球个红球, , 第第 2 2 个箱子有个箱子有 4 4 个白球个白球,4,4 个红球个红球. . 现从现从第第 1 1 个箱子
9、中随机地个箱子中随机地取取 1 1 个球放到个球放到第第 2 2 个箱子里个箱子里, ,再从再从第第 2 2 个箱子中取个箱子中取出出 1 1 个球个球, ,此球此球 是白球的概率为是白球的概率为_._.已知上述从已知上述从第第2 2个箱子中取出的球是白球个箱子中取出的球是白球, ,则从第一个箱子则从第一个箱子 中取出的球是白球的概率为中取出的球是白球的概率为_._. (3)(3)已知连续随机变量已知连续随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 2 21 1 ( )e, xx f x 则则X的数学期望为的数学期望为 _,_,X的方差为的方差为_._. 十一十一、 （本题满分（本题满分 6 6
10、 分）分） 设随机变量设随机变量,X Y相互独立相互独立, ,其概率密度函数分别为其概率密度函数分别为 ( ) X fx 1 0 01x 其它 , ,( ) Y fy e 0 y 0 0 y y , ,求求2ZXY的概率密度函数的概率密度函数. . 5 19881988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、一、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分) ) (1)(1)求幂级数求幂级数 1 (3) 3 n n n x n 的收敛域的收敛域. . (2)(2)设设 2 ( )e
11、, ( )1 x f xfxx 且且( )0x, ,求求( )x及其定义域及其定义域. . (3)(3)设设为曲面为曲面 222 1xyz的外侧的外侧, ,计算曲面积分计算曲面积分 333 .Ix dydzy dzdxz dxdy 二、填空题二、填空题( (本题共本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1212 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)若若 2 1 ( )lim (1), tx x f tt x 则则( )ft= = _._. (2)(2)设设 ( )fx连续且连续且 3 1 0 ( ), x f t dtx 则则
12、(7)f=_.=_. (3)(3)设周期为设周期为 2 2 的周期函数的周期函数, ,它在区间它在区间( 1,1 上定义为上定义为( )fx 2 2 x 10 01 x x , ,则的傅里叶则的傅里叶 ()Fourier级数在级数在1x 处收敛于处收敛于_._. (4)(4)设设 4 4 阶矩阵阶矩阵 234234 , ,A B 其中其中 234 , , 均为均为 4 4 维列向量维列向量, ,且已知行且已知行 列式列式4,1,AB则行列式则行列式AB= = _._. 三三、选择题选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小
13、题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 个符合题目要求个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)(1)设设 ( )fx可导且可导且 0 1 (), 2 fx则则0x时时,( )f x在在 0 x处的微分处的微分dy是是 (A)(A)与与x等价的无穷小等价的无穷小(B)(B)与与x同阶的无穷小同阶的无穷小 (C)(C)比比x低阶的无穷小低阶的无穷小(D)(D)比比x高阶的无穷小高阶的无穷小 (2)(2)设设 ( )yfx是方程是方程240yyy的一个解且的一个解且 00 ()0,()0,f xfx则函数则函数( )fx在
14、点在点 0 x处处 (A)(A)取得极大值取得极大值(B)(B)取得极小值取得极小值 (C)(C)某邻域内单调增加某邻域内单调增加(D)(D)某邻域内单调减少某邻域内单调减少 (3)(3)设空间区域设空间区域 22222222 12 :,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则则 (A)(A) 12 4xdvdv (B)(B) 12 4ydvydv (C)(C) 12 4zdvzdv (D)(D) 12 4xyzdvxyzdv (4)(4)设幂级数设幂级数 1 (1)n n n ax 在在1x 处收敛处收敛, ,则此级数在则此级数在2x 处处 (A)(A)条件收敛条件收敛(B)(B)绝对收敛绝对收敛 (C)(C)发散发散(D)(D)收敛性不能确定收敛性不能确定 (5)(5)n维向量组维向量组
