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1、第 1 页 共 11 页 旋转及综合专题旋转及综合专题 一、一、旋转相关定义旋转相关定义 1、定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转 动的角叫做旋转角。 2、如果图形上的点P经过旋转变为 1 P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后图形全等。 4、把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
2、这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。 5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。 6、把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形 叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 二、旋转相关结论二、旋转相关结论 结论结论 2 2： 对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线， 且等腰三角形顶角均等于旋转角。 如图， 1 ABB和 1 ACC均为等腰三角形， 11 CACBAB。 如图如图，将ABC绕点A逆时针旋转角到 11C A
3、B。点B和点 1 B为对应点，点C和 1 C为对 应点。 结论结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段 1 BB的垂直平分 线 1 l、 线段 1 CC的垂直平分线 2 l都经过旋转中心 点A。利用这个结论我们可以利用对应点坐标 求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。 第 2 页 共 11 页 结论结论 3 3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图， 1 BAB 1 CAC。 结论结论 4 4：旋转前、后
4、图形全等。如图， 11C ABABC。 示例示例 1 1：已知)2 , 3(A、)0 , 0(O，将线段OA绕点P旋转得到线段 11A O，其中) 1, 1( 1 O、)4, 3( 1 A， 1 O为点O的对应点， 1 A为点A的对应点，求点P的坐标。 分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段 1 AA和线段 1 OO的解析 式，然后联立即可求出点P的坐标。 解析：)2 , 3(A，)4, 3( 1 A直线3: 1 xAA直线 1 AA的垂直平分线1: 1 yl )0 , 0(O，) 1, 1( 1 O直线xyOO: 1 直线 1 OO的垂直平分线1: 2 xyl 点P
5、为 1 l与 2 l的交点，联立： 1 1 xy y ，可得：) 1, 0( P。 点P的坐标为) 1, 0( P。 附：附：在直角坐标系中求线段的垂直平分线的方法在直角坐标系中求线段的垂直平分线的方法（必须掌握知识点）（必须掌握知识点） 已知点),( 11 yxA和点),( 22 yxB，求线段AB的垂直平分线l。 处理方法如下： 第一步： 根据点),( 11 yxA和点),( 22 yxB的坐标首先求出直线AB的解析式： 111: bxkyl。 第二步：设线段AB的垂直平分线l的解析式为： 22 :bxkyl。以为 1 ll ，所以 1 21 kk， 从而求出 1 2 1 k k ， 因此
6、线段AB的垂直平分线l的解析式转化为：2 1 1 :bx k yl 。 第三步：根据中点坐标公式直接写出线段 AB 中点) 2 , 2 ( 2121 yyxx M 。 分析： 既然直线l为线段AB的垂直平分线， 所以直线l经过线段AB的中点， 也即线段AB的 中点在直线l上。 第四步：将线段 AB 的中点) 2 , 2 ( 2121 yyxx M 代入 2 1 1 :bx k yl 中求出 2 b的值。 最后将 2 b的值代入 2 1 1 :bx k yl 中即可求出线段AB的垂直平分线的解析式。 示例：示例：已知点)4 , 2(A和点)2 , 2(B，求线段AB的垂直平分线l。 处理方式如下
7、： 第 3 页 共 11 页 第一步：由点)4 , 2(A和点)2 , 2(B，可得直线AB的解析式3 2 1 : 1 xyl。 第二步：设线段AB的垂直平分线l的解析式为： 22 :bxkyl。以为 1 ll ，所以 1 21 kk， 从而求出2 2 k， 因此线段AB的垂直平分线l的解析式转化为： 2 2:bxyl。 第三步：由点)4 , 2(A和点)2 , 2(B，可得线段AB的中点)3 ,0(M。 第四步：将点)3 , 0(M代入 2 2:bxyl中可得3 2 b。 因此，最终可得线段AB的垂直平分线为32: xyl。 提醒：提醒：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算
8、错了！ 三、三、点绕点旋转点绕点旋转90问题问题 此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应 点坐标。 示例示例：将点)4 , 3(A绕点) 1 , 1(P逆时针旋转90，求点A的对应点 1 A的坐标。 解析解析：如图， 过点P作直线l平行于x轴交y轴于点B，过点A作lAM 于M，过点 1 A作lNA 1 于N。易证 1 PNAAMP（ASA），则有：PNAM ，NAPM 1 。 )4 , 3(A，) 1 , 1(P3AM，2PM，1PB) 1 , 2(N)3 , 2( 1 A。 四、旋转示例解析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转）四、旋转示例解
9、析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转） 在解决旋转相关题型时，最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合，从而利用等 腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再利用旋转知识 解决相关问题。因此因此，在处理此类题型时在处理此类题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰 三角形三角形，尤其注意等腰直角三角形尤其注意等腰直角三角形、等边三角形等边三角形、正方形正方形、顶角为特殊角的等腰三角形顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以遇到以 分析分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段 的夹角。 因此有 1 PA
10、PA 。 由于旋转角为90， 即90 1 APA， 因 此 我 们 可 以 就 斜 边 1 PAPA ，以平行于坐标轴的线段构造两个 直角三角形。很显然，这两个直角三角形时 全等三角形。然后利用直角边线段长度关系 即可求出点 1 A的坐标。 第 4 页 共 11 页 上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。 以下通过一些实例来帮助同学们理解如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在 的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。 例例 1 1：已知如图ACB，90ACB，ABAC ，3PA，2PC，1PB，求BPC的度数？ 分
11、析分析：这里明显可以判断ACB为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重 合，构造全等三角形。 解析解析：图图（1 1）中是将等腰直角三角形ACB的一腰AC绕点C逆时针旋转90与另一腰BC重合， 从而带动CAP逆时针旋转90至CBH，可得： CBHCAP，390BHPAHCPCHCP， 45CPH，222PCPH 222 BHPBPH90HPB135BPC 图（图（2 2）中是将等腰直角三角形ACB的一腰BC绕点C顺时针旋转90与另一腰AC重合，从而 带动CPB逆时针旋转90至CHA，可得CHACPB，可得45CHP，再利用勾股定理证 90PHA即可。 例例 2 2：已知，如图所
12、示，等腰ACBRt， 90ACB，D为ACB外一点， 且满足45ADC，43CDAD， 求BD的值？ 分析分析：这里已知等腰ACBRt，可以将 等腰ACBRt的一腰BC顺时针旋转90与 另一腰AC重合，从而带动DCB顺时针旋转 90至HCA。 解析解析：将DCB绕点C顺时针旋转90至HCA。 图（图（1）图（图（2） 第 5 页 共 11 页 则有，HCADCB，2424590DCDHHDCDCHHCDC， 又45ADC90HDA，最后利用勾股定理可以求出AH的值，也即BD的值。 例例 3 3：已知如图，ABC为等边三角形，7PA，3PB，2PC，求APC的度数？ 分析分析：这里已知ABC为等
13、边三角形，符合旋转条件， 可以将ABC一边AC顺时针旋转60与另一边AB重合 解析：将APC绕点A顺时针旋转60至AHB， 则260HBPCHAPAHAPAHBAPC， AHP为等边三角形 7 PAHP 222 PBHPHB90BHP 150AHBAPC。 例例 4 4： 已知如图， 四边形ABCD，60ADC，30ABC， 且ACAD ， 求证： 222 BDBCAB。 分析分析：这里实际可知ADC为等边三角形， 满足旋转条件。 解析解析：将ADB绕点A逆时针旋转60至ACH。 可得ABH为等边三角形，又30ABC 从而可得90CBH，直角三角形就 可以使用勾股定理了。 例例 5 5：如图，
14、已知等边ABC，点D为ABC外一点，且满足120BDC，试问，DCDABD， 是否有确定的数量关系？ 分析分析：这里ABC为等边三角形，满足旋转条件。 解析解析：将ABD绕点A逆时针旋转60至ACH。 则有，ACHABD，ACHABD。 ADH为等边三角形 DHDA 120BDC，60BAC 180ACDABD 180ACDACH 第 6 页 共 11 页 HCD，三点共线（必须证三点共线，否则扣分） DBDCDA。 变式拓展变式拓展：如图已知等边ABC，点D为ABC外一点，但BDC大小不确定，3BD，4DC， 试问DA的最大值为多少？ 分析分析：这里ABC为等边三角形，满足旋转条件。 解析解
15、析：将ABD绕点A逆时针旋转60至ACH。 则有，ACHABD，ADH为等边三角形 3 BDCH，DHDA CHDCDHCHDCDA 7DA。 例例 6 6：如图，已知正方形ABCD，E为正方形ABCD外一点，22AE，1DE，求CE的最大 值？ 分析分析：这里出现了正方形ABCD（正方向可以看成是两个 等腰直角三角形组合而成），符合旋转条件。 解析解析：将EDC绕点D顺时针旋转90至HDA，则有： HDAEDC，AHCE ，DHDE ，90EDH 22DEEH 23222EHAEAH 23CE 第 7 页 共 11 页 五、五、旋转相似旋转相似 旋转相似是比较难的一种变换模式，难就难在不易发觉更不易构造，掌握起来比较难。 两个相似三角形绕某一点旋转，必然出现一对新的相似三角形。 例例 1 1：如图，已知ABC为等边三角形，D为AB的中点，1DE，2EA，求CE的最大值？ 分析：ABC为等
