《概率论与数理统计》典型例题

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1、概率论与数理统计典型例题 概率论与数理统计典型例题 第一章 随机事件与概率 第一章 随机事件与概率 例 1例 1已知事件,A B满足，AB与同时发生的概率与两事件同时不发生的概 率相等，且( )P Ap=，则( )P B = 。 分析分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质事件的关系与概率的性质。 解解：由题设知，()(P ABP AB=)，则有 ()()()1()1( )( )()P ABP ABP ABP ABP AP BP AB= = + 而，故可得。 ( )P Ap=( )P B = 1p 注注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情 况，但首先要求学生应正确的

2、表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的 地方。 例 2例 2从 10 个编号为 1 至 10 的球中任取 1 个，则取得的号码能被 2 或 3 整 除的概率为 。 分析分析：这是古典概型古典概型的问题。另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该 是求两个事件至少发生一个的概率， 即和事件的概率， 所以应考虑使用加法公式加法公式。 解解： 设A：“号码能被2整除” ，B：“号码能被3整除” ， 则 53 ( ),( ) 1010 P AP B=。 只有号码 6 能同时被 2 和 3 整除，所以 1 () 10 P AB =，故所求概率为 5317 ()( )( )() 10101010 P

3、ABP AP BP AB=+=+=。 注注：这是加法公式的一个应用。 本例可做多种推广，例如有 60 只球，又如 能被 2 或 3 或 5 整除。 再如直述从 10 个数中任取一个，取得的数能被 2 或 3 整除的概率为多少等等。 例 3例 3对于任意两事件，若，则 AB和( )0,( )0P AP B不正确。 （A）若AB=，则A、B一定不相容。 （B）若AB=，则A、B一定独立。 （）若CAB，则A、B有可能独立。 （）若DAB=，则A、B一定不独立。 分析分析： 此问题是考察事件关系中的相容性相容性与事件的独立性独立性的区别， 从定义定义出 1 发。 解解：由事件关系中相容性的定义知选项

4、A正确。 由事件的独立性的定义知，若()( ) ( )P ABP A P B=，则事件A、B相互独立。 选 项B的 条 件 是AB=， 故 有()( )P ABP0=， 但 题 设 条 件 是 ，故,即( )0,( )0P AP B0()( ) ( )0P ABP A P B=A、B一定不独立，从而选 项正确，选项DB不正确。 而选项条件为CAB，即()P AB0，则有可能()( ) ( )P ABP A P B=，选项 正确。 C 故应选B。 注注：事件的相容性与独立性有本质的区别，独立性要求事件发生的概率满足 一定的关系，即由事件发生的概率的角度来描述事件之间的关系；而两事件不相 容仅仅要

5、求两事件不能同时发生，即由事件本身来描述事件之间的关系。记住这 一点区别就能以不变应万变。 本例还可去掉条件“”改成如下表述 ( )0,( )0P AP B 对于任意两事件， AB和是正确的。 （A）若AB，则A、B一定独立。 （B）若AB，则A、B有可能独立。 （）若CAB=，则A、B一定独立。 （）若DAB=，则A、B一定不独立。 答案仍选项B，还是从相容与独立的定义出发即可解决。 例 4例 4下列各命题中， 为真命题。 （A）若，则( )0P A=A为不可能事件。 （B）若A与B相互独立，则( )1( )P AP B= 。 （）若CA与B互不相容，则()P AB1=。 （） 设为个事件，

6、若对D 12 , n A AA?n,1, 2,iji jn =?，均有 ()() ( ijij P A AP A P A=)，则相互独立。 12 , n A AA? 分析分析：此问题仍旧考察各种概念的区别，由定义解决。 解解：选项A考察的是不可能事件，在随机试验中，一定不发生的事件叫不可 能事件，记作。 显然( )0P=。 但反过来，概率为 0 的事件不一定是不可能 事件。 故选项A不正确。 由例 3 给出的事件独立性定义易见，选项B的结论未 必成立。 对于选项，若CA与B互不相容，则AB=，从而 ()()1()1( )P ABP ABP ABP= = 1=。 2 而选项考察的是多个事件相互独

7、立与两两独立概念的区别， 显然给出的描述是 两两独立，并非相互独立。 若对任意的 D 12 , n A AA?(1)kkn( )0P BAB=，则知()( )P ABP0=， 显然选项不正确。 当为任意两个概率不为零的互逆事件时， 则CAB和A与B 不 相容，但选项B也有可能发生，故两结论都不一定正确。 而 ABAAB=，故有 ()()( )()( )P ABP AABP AP ABP A=，即 选项正确。 D 注注：公式ABAAB=是个常用公式，也是非常好用的公式。 例 6例 6从 6 副不同的手套中任取 4 只，问其中恰有一副配对的概率是多少？ 分析分析：这是典型的古典概率古典概率问题。

8、解法一解法一：先选 1 副，从其余 5 副中选 2 只不配对的。 从而 122 65 4 12 216 33 C C p C =。 解法二：解法二： “全体” “恰好 2 副” “全不配对” 。 从而 4244 1266 4 12 216 33 CCC p C =。 解法三：解法三：先选 1 副，后选 2 只但不能配对。 从而 121 6105 4 12 16 33 C CC p C =。 解法四：解法四：先选 1 副，从余下的 10 只中选 1 只，再从与其不配对的 8 只中选 1 只，后两次选法有重复。 从而 3 111 6108 4 12 216 33 C C C p C =。 解法五：

9、解法五： “至少 1 副” “恰好 2 副” 。 从而 1211 61065 4 12 16 33 C CC C p C =。 解法六：解法六：考虑顺序，在某两个位置上出 1 副。 从而 2 4 4 12 12 10 816 33 pC A =。 注注：本题有多种解法，它们从不同角度或用不同公式，算出同一答案。现在 列出若干种，不再一一指明所用的样本空间，也不详细计算有利场合数，仅点明 解题思路。 例 7例 7 在线段AB上任取不同的三点 12 , 3 xxx， 求 2 x位于 1 x， 3 x之间的概率。 分析分析：由于是在线段上任取三点，所以任何事件发生的概率显然相等，这还 是古典概率古典

10、概率的计算问题。 解法一解法一：设 1 A： “ 1 x位于 2 x与 3 x之间” ， 2 A： “ 2 x位于 1 x与 3 x之间” ， 3 A： “ 3 x位于 1 x与 2 x之间” ，则事件 1 A， 2 A， 3 A是对称的，其发生的可能性是相等 的，且 1 A， 2 A， 3 A中任意两个事件之间是互斥的。 故取只有 3 个样本点的样 本空间 123 ,AAA =，而要求的概率即为 2 1 () 3 P A=。 解法二解法二：此题的样本空间也可取为含有 6 个样本点的样本空间，即设 1 A： “ 123 xxx” ， 2 A： “ 132 xxx” ， 3 A： “ 213 x

11、xx” ， 4 A： “ 231 xxx” ， 5 A： “ 312 xxx” ， 6 A： “ 321 xxx” ，则 1 A， 2 A， 3 A， 4 A， 5 A， 6 A是对 称的，其发生的可能性是相等的，且其中任意两个事件之间是互斥的。所以 123456 ,AAAAAA =。 此时要求的事件“ 2 x位于 1 x， 3 x之间”的概率即 为 1616 111 ()()() 663 P AAP AP A=+=+=。 注注：对于样本空间的选取因题、因人而异，但要注意的是样本空间选取不同 的情况下，相应事件包含的样本点数肯定也要随之发生改变。 另外，此题还可改为“在线段AB上任取不同的三点

12、 123 ,xxx，求事件 123 xxx发生的概率” ， 此时需用到解法二中的样本空间，要求的概率恰为 1123 1 () 6 P AP xxx=。 进一步，还可将这两个问题推广到个点，即在线n 4 段AB上任取个不同的点n 12 , n xx? x，求事件 12n xxx?发生的概率，更 进一步可求事件 12n iii xxx?（是1,的一个排列）发生的概 率。 显然解法二中的 12 , n iii?2,n? 1, , 6 AA?对应着 12 , 3 xxx的全排列，因此我们可设个事 件 !n 12 , n! AAA?对应着 12 , n xx? x的全排列，他们也是处于对称平等的位置上，

13、 因而 12 12 1 ! n niii P xxxP xxx n =?。 例 8例 8某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天 8 点到 9 点在预定地 点会面，先到者要等候另一个人 20 分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个 小时内任一时刻到达是等可能的，求事件A=两人能会面的概率。 分析分析： 由于两人在 1 小时内到达预定地点的时间是等可能的， 两人能够会面 相当于先到的人到达后， 第二个人必须在 20 分钟内到达。 该问题属于几何概型几何概型 问题。 解解：设、分别表示两人到达预定地点的时刻，那么两人到达时间的一切 可能结果对应边长为 60 的正方形里所 有点，而 xy 两人能会

14、面的充要件条是 20xy= 20xy，即20xy且xy 从而 20 ， 22 2 (40A)605 ( ) ( )609 P A = 。 ：这是几何概率计算中常见的问 题之一，会面问题会面问题，另外常利用几何方法来 计算的概率题目还有许多。例如“在区间 (0,1)中随机地取两个数，则事件两数之和大于 注注 6 5 的概率是多少？”或改求 “两数之差或积或商大于 6 或小于 5 6 ”的概率等等。 5 例 9例 9 （蒲丰投针蒲丰投针问题）平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于， 向此平面任投一长度为的针，是求此针与任一平行线相交的概率。 ：以表示针的中点到最近的一条平行线的距离， a ()

15、l la 解解x表示针与平行线的交 角， 显然有 针与平行线的位置关系见下图。 0, 0 2 a x，以表示边长为G 2 a 及的长方形。 为使针与平 20xy= 020 20 60 60 5 行线相交，必须sin l x 2 ，满足这个关系式的区域记为g，即下图中阴影区域。 所求概率为 0 1 sin 2 ld gl 2 2 p a Ga = 的面积 。 的面积 注注：由于最后的答案与有关，因此不少人想利用它来计算的数值，其方 法是投针，再以频率值N次，计算针与平行线相交的次数n n N 作为概率之值 代入 p 上式，求得 2l N = an 。 例 10例 10钥匙掉了，落在宿舍中的概率为0。 90；落在教室里的概率为 35%，这种情况下找到的概率为 0。30；落在路上的概 率为 5%，这种情况下找到的概率为 0。1，求找到钥匙的概率。 40%，这种情况下找到的概率为 2 分析：分析：这是应用全概率公式全概率公式的典型题型之一。 解解：以 1 A， 2 A， 3 A分别记钥匙落在宿舍、教室和路上，以B记找到钥匙。 显然 3 A， 2 A， 3 A构成一个完全事件组，而且 123 )0.4()0.35,()0.25,P A(,P AP A= 123 ()0.9,()0.3,(P B AP B A=)0.1,P B A= 因此 3 1 (