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1、高高中中数数学学常常用用?式式及及结结论论 1. 元素?集合的关系: U xAxC A, U xC AxA.AA 2.德摩根?式 闭();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B=IUUI. 3.包含关系? AB ABAABB=IU UU C BC A U AC B= I U C ABR=U 4.元素个数关系? ()()card ABcardAcardBcard AB=+UI ()card ABCcardAcardBcardC=+UU ()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC+IIIII. 5?集合 12 , n a aaL的子集个数共有2n
2、 个?真子集有21 n 个?非空子集有21 n 个? 非空的真子集有22 n 个. 6.?次函数的解析式的?种形式 (1一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a=+问 (2顶点式 2 ( )()(0)hf xaakx=+问?已知抛物线的顶点坐标( , )h k时?设为?式? (3 零 点 式 12 ( )()()(0)f xa xxxax=? ? ? 已 知 抛 物 线 ?x轴 的 交 点 坐 标 为 12 ( ,0),(,0)xx时?设为?式? ?4?线式? 0 2 ( )()(),0xkxdf xa xa=+? ?已知抛物线?直线ykxd=+相 ?且?点的横坐标为 0 x时?设为?式?
3、 7.解连?等式( )Nf xM ( ) ( ) f xN f xM 0 时?若qp a b x, 2 =?则 minmaxmax ( )(),( )( ),( ) 2 b f xff xf pf q a =? qp a b x, 2 =? maxmax ( )( ),( )f xf pf q=? minmin ( )( ),( )f xf pf q=. (2? a积0 时?若qp a b x, 2 =?则 min ( )min( ),( )f xf pf q=? 若qp a b x, 2 =?则 max ( )max( ),( )f xf pf q=? min ( )min( ),( )f
4、xf pf q=. 10.一元?次方程 2 ( )f xxpxq=+?0 的实根?布 ?1?方程0)(=xf在区间),(+m内有根的充要条?为( )0f m ? ?2?方程0)(=xf在区间( , )m n内有根的充要条?为 ( ) ( )0f m f n 或 2 22 40 ( )0 mnp n pq f m + ? ?3?方程0)(=xf在区间(,)m内有根的充要条?为( )0f m baxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在 ?是增函数? 1212 ()()()0xxf xf x x f? 则)(xf为增函数? 如果0)(0 y=kx+b o y x a0 y=ax2+
5、bx+c o y x -1 -2 1 2 y=x+1 x o y x 01 1 y=ax o y x 01 1 y=logax o y x 20.对于函数)(xfy =(Rx,)()(xbfaxf=+恒成立,则函数)(xf的对?轴是 2 ba x + =问两个函数)(axfy+=?)(xbfy= 的图象关于直线 2 ba x =对?. 21.若)()(axfxf+=,则函数)(xfy =的图象关于点)0 , 2 (a对?问 若)()(axfxf+=,则函数)(xfy =为周期为a2的周期函数. 22?多?式函数 1 10 ( ) nn nn P xa xaxa =+L的奇偶性 多?式函数( )
6、P x是奇函数( )P x的偶次?(即奇数?的系数全为零. 多?式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次?(即偶数?的系数全为零. 23.函数( )yf x=的图象的对?性 (1函数( )yf x=的图象关于直线xa=对?()()f axf ax+=(2)( )faxf x=. (2函数( )yf x=的图象关于直线 2 ab x + =对?()()f amxf bmx+= ()()f abmxf mx+=. 24.两个函数图象的对?性 (1函数( )yf x=?函数()yfx=的图象关于直线0x =(即y轴对?. (2函数()yf mxa=?函数()yf bmx=的图象关于直线 2 ab
7、 x m + =对?. (3函数)(xfy =和)( 1 xfy =的图象关于直线 y称x 对?. 25.若将函数)(xfy =的图象右移a?移b个单位?得到函数baxfy+=)(的图象? 若将曲线0),(=yxf的图象右移a?移b个单位?得到曲线0),(=byaxf的图象. 26?互为?函数的两个函数的关系?abfbaf= )()( 1 . 2只.函数( )yf x=?函数 1( ) yfx =的图?的交点?一定全在直线yx=? 2叫.几个常见的函数方程 (1?比例函数( )f xcx=()( )( ),(1)f xyf xf yfc+=+=. (2指数函数( ) x f xa=()( )
8、( ),(1)0f xyf x f yfa+=. (3对数函数( )logaf xx=()( )( ),( )1(0,1)f xyf xf yf aaa=+=. (4幂函数( )f xx=()( ) ( ),(1)f xyf x f yf=. (5余?函数( )cosf xx=,?函数( )sing xx=?()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y=+? 0 sin (0)1,lim1 x x f x =. 29.几个函数方程的周期(约定 a0 ?1?)()(axfxf+=?则)(xf的周期 切称a? ?2?)0)( )( 1 )(=+xf xf axf?或 1 (
9、) ( ) f x a f x +=( ( )0)f x ,则)(xf的周期 切称2a? (3)0)( )( 1 1)( + =xf axf xf?则)(xf的周期 切称3a? (4 )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf + =+且 1212 ( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa=?且1n ?. (2 11 m n m nm n a a a =?0,am nN ?且1n ?. 31?根式的性质 ?1?()n n aa=. ?2?n为奇数时? nn aa=? ?n为偶数时? ,0 | ,0 nn a a aa a a = . (2 (
10、)(0, ,) rsrs aaar sQ=. (3()(0,0,) rrr aba b abrQ=. 注? 若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质， 对于无理数指数幂都适用. 33.指数式?对数式的互化式闭 log b a NbaN=(0,1,0)aaN. 34.对数的换?式 闭 log log log m a m N N a = (0a ,且1a ,0m ,且1m , 0N . 对数恒等式? logaN aN=(0a ,且1a , 0N . 推论 loglog m n a a n bb m =(0a ,且1a , 0N . 35?对数的四则?算法则闭若
11、 a?0?a1?0?0?则 (1log ()loglog aaa MNMN=+问 (2 logloglog aaa M MN N =问 (3loglog() n aa MnM nR=问 (4 loglog( ,) m n a a n NN n mR m =? 36.设函数)0)(log)( 2 +=acbxaxxf m ,记acb4 2 =.若)(xf的定?域为R,则 0a且0a?且0? 3只. 对数换?等式及?推广?设 1nm ? 0p ? 0a ?且 1a ?则 ?1?log()log mpm npn + +. sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka k
12、Z+. cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ+. tan()(,arctan ), 2 xa aRxkka kZ ?4?柯西?等式? 22222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dR+ ?5?bababa+. ?6? 22 2 22 ababab ab ab + + (?且仅? a?b 时取?称?号? 只2.极值定理闭已知yx,都是?数?则有 ?1?若?xy是定值p?则?yx =时和yx +有最小值p2? ?2?若和yx +是定值s?则?yx =时?xy有最大值 2 4 1 s. ?3?已知, , ,a b x yR+?若
13、1axby+=则有 2 1111 ()()2() byax axbyabababab xyxyxy +=+=+=+? ?4?已知, , ,a b x yR+?若1 ab xy +=则有 2 ()()2() abaybx xyxyabababab xyxy +=+=+=+ 只3. 一 元 ? 次 ? 等 式 2 0(0)axbxc+? 如 果a? 2 axbxc+同号?则?解集在两根之外?如果a? 2 axbxc+异号?则?解集在两根之间.简 言之?同号两根之外?异号两根之间. 121212 ()()0()xxxxxxxxx 0 时?有 22 xaxaaxa或xa . ?2? 2 ( )0 (
14、)0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或 2 ( )0( )0 ( ) ( )( )0 g xf x f xg xg x 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x问 ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2?01a 或0或0或0或0点P在圆外问dr=点P在圆?问dr相离rd问0=相?rd问0rrd问 条?线外?3 21 +=rrd问 条?线相交2 2121 +的参数方程是 cos sin xa yb = = . 离心率 2
15、2 1 cb e aa =? 准线到中心的距离为 2 a c ?焦点到对?准线的距离(焦准距 2 b p c =? 过焦点且垂直于长轴的?通?长度为? 2 2 b a . 93.椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=焦半?式及两焦半?焦距构成?角形的面? 2 1 () a PFe xaex c =+=+? 2 2 () a PFexaex c =? 12 2 1 |tan 2 F PFP FPF Sc yb =? 94?椭圆的的内外部 ?1?点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的内部 22 00 22 1 xy ab +的外部 22 00 22 1 xy ab +. 95. 椭圆的?线方程 (1椭圆 22 22 1(0)
