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1、 1 期末复习题期末复习题 极限有关的题型极限有关的题型 1.求极限（1） ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 lim nn n （2）) 2 1 2 1 2 1 1 (lim 12 n n （3）)1 ()1)(1)(1 (lim 242 n xxxx n （1x） （4） 23 2 lim 2 2 2 xx xx x （5） h xhx h 22 0 )( lim （6） x x x 11 lim 0 （7） 32 1 lim 1 x x x （8）)0(lim a ax ax ax （9）)e1)( 1 sin2(lim x x x （10） 23 2 32sin1 lim 27
2、1 x xxx xx （11） 1 1 lim 1 m n x x x （12） 1 lim 2 1 x nxxx n x （13） x x x 1 sin) 1(lim （14） n n n x 2 tan2lim （15） x x x arctan lim 0 （16） n n nn ) 11 1 (lim 2 （17） 7 lim() 7 x x x x （18） 1 23 lim() 21 x x x x （19） 1/ 0 lim(cos ) x x x （20） n n n n 3 1 2 lim （21）若8) 2 (lim x x ax ax ，求常数a； （22） 2 212
3、 limsin 31 x x xx （23）极限 )1ln() 1( 1sin1 lim 0 xe xx x x （24）当0x时， 1 2 3 (1)1ax与cos1x是等价无穷小，则常数a . （25）设0x时， xx ee sin 与 n x同阶无穷小，则n为 。 （26） m n x x x )(sin )sin( lim 0 （27） x xx x 3 0 sin sintan lim （28） )cos1 (cos1 1 lim 3 0 xx ex x （29） )tan1ln() 1( ) 1arctan21)(sin lim 2 3 0 2 xe xxx x x （30） xx
4、x xx x 20 sin1 sin1tan1 lim （31）若极限 0 lim( ) x f x 存在，且 2 0 1( )tan1 lim3 1 x x f xx e ，求 0 lim( ) x f x 。 （32）已知0)(1lim 2 baxxx x ，试求常数a、b的值. 补充竞赛题（第三部分有关极限） 2 3. xx xxx x sin 114 lim 2 2 ； 解： 22 22 11111 4141 limlim1 sinsin 11 xx xx xxxxx I xx x xx . 4. 122 3 lim 4 22 xx xx x 解： 24 4 13 1 1 lim 21
5、2 2 x xx I xx 5. xx xx x ee ee 32 lim 2 2 解: 3 11 lim 232 x x x e I e 15. n nnn n cba ) 3 (lim )0, 0, 0(cba 解： 111 lim 3 3 lim(1) 3 nnn n abc nnn n n n abc Ie 1 lim (1)lim(1)lim(1) 3 3 nnn nnn nanbnc eabc . 17. x x x 2 tan 1 )2(lim _ . 解：原式= L tan 2 111 sin 12 2 lim 1 (1),lim(1)lim coscos 22 x xxx x
6、 x xx xx .原式= 2 e. 18. x x x )(coslim 0 . 解： 00 1 (cos1)lim (cos1)lim 2cos1 2 0 lim(1cos1) xx x xx xxx x x Ixeee . 19. 2 1 coslim n n n _ . 解：原式= 2 1 1 cos1lim n n n ， 2 1 2 1 lim) 1 1 (coslim 2 2 2 n n n n nn ，结果为 2 1 e. 3 20. n n n nn nn ln ln ln lim_ . 解：原式= ln lnln lim 1, ln n n n nnnn nn 2ln2 l
7、imlim2 ln lnln 1 nn nn n nnn n ，原式= 2 e. 21. 2 1 sinlim n n n n_ . 原式= 2 1 2 3 0 11sin1 lim 1sin1,limsin1lim 6 tn n nn t tt nnn nnt ，所以为 6 1 e. 1 2 ln 12 n a aa n ea aa. 36.求极限limtansin() 22 x xx . 解： sin() 2 limtansin()limsinlim 222 sin() 22 xxx x xxx x . 31. 2 tan)1 (lim 1 x x x . 解： 1111 sin 112
8、2 lim(1)limlimsinlim 2 sin()sin()(1) 22222 xxxx x xxx Ix xx x 37.求极限) 1 (lime n n n n n . 解：原式 11 ln 1ln 11 1 ln 1 11 lim limlimlim ln(1) 1 11 2 nn nn n n nnnn eeee n eeeen n n nn . 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 1填空题 （1） 函数 2 1 )( 2 2 xx x xf的可去间断点为x . （2） ) 1( 2 cos 2 xx x y 的间断点是 ， 间断点类型： （3） x x y tan 的间断
9、点是 ，间断点类型： 4 2找出函数 x x xf 1 21 1 )(的间断点，并且说明它属于哪一类间断点 3 设函数 ) 1)( e )( xax b xf x ， 求ba,的值， 使得0x为)(xf的无穷间断点，1x为 )(xf的可去间断点 4.判断 01)1ln( 0, )( 1 1 xx xe xf x 的间断点，并说明其类型。 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 1.填空题 （1）函数 2 1 sin 0 ( ) 0 xx f xx axx 要使( )f x在(,) 连续，a ； （2）设 0,cos 0, sin )( xxa x x x xf 在0x
10、处连续，则常数a ； （3）设 1, 1, 1 1sin xea x x x xf x 在1x处连续，则常数a ； （4）设 2 2 1 sin 0 ( ) sin 0 x x x f x x bxx ，要使)(xf在0x点连续，则b ； （5）函数 0,2sincos2 0, )( xxx xae xf x 在（-1，1）上连续，则a ； 2.函数 1, 4 1, 313 )( x x xx bax xf在点1x连续，求常数ba,。 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1.证明方程2e x x 在区间)2, 0(内至少有一个实根 2.证明方程)0, 0(sinbabxax至少有一个
11、不超过ba 的正根 3.若函数)(xf在闭区间2, 0a上连续，且)2()0(aff，证明在闭区间, 0a上至少 5 有一点使)()(aff 4.若)(xf在闭区间,ba上连续，且bdca，对任何正数nm, 证明在闭区间 ,ba上内至少有一点使)()()()(fnmdnfcmf 5若函数)(xf在闭区间,ba上连续，且bxxxa n 21 ，证明在闭区间 , 1n xx上至少有一点，使得 n xfxfxf f n) ()()( )( 21 第二章第二章 导数与微分导数与微分 第一节第一节 导数的概念导数的概念 1.填空题填空题 （1）( )f x在xa处可导，且 ( ) lim2 xa f x
12、 xa ，则( )f a , ( )fa ； （2）设0)( xf存在，且当0x时，)()( 00 xfxxf与xA是等价无穷小，则 常数A ； （3）若)( 0 x f 存在，则 h hxfhxf h )()3( lim 00 0 ； （4）已知)( 0 x f 存在，则) 1 () 1 (lim 00 n xf n xfn n = ； （5）设 0 ()fx存在，则 00 0 ()(2 ) lim arcsin h f xhf xh h = ； （6） 设函数)(xf可导且1 2 )1 () 1 ( lim 0 x xff x ,则曲线)(xfy 在点) )1 (, 1 (f处的切线 斜率是 ； （7）已知函数)(xf在0x的某领域处有定义，在0x处可导，0)0(f，则极限 )2012sin( 1 0 )()2012(1 lim x x xfxf ； （8）设2)65()( 22 xxxxxf，则)(xf在点x 处不可导。 2.设 1 1 )( 2 xbax xx xf在1x 可导，求常数, a b的值. 3.讨论 1011 0)1ln( )( 2 xxx xx xf在0x 的可导性。 第二节第二节 函数的求导
