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1、MathematicsPhysicsChemistry 0779-209-7897DEVOTION MAKES PROFESSION第 1 页 共 8 页 高中常用函数高中常用函数图像与性质图像与性质 一、一、常值(数)函数常值(数)函数 1. 定义:定义:一般地,形如为常数)(ccy ,那么叫做常值(数)函数. 2. 图像与性质:图像与性质: 解析式)0( ccy0y)0( ccy 图像 性质 定义域R 值域cyy 单调性不具单调性 奇偶性偶函数 对称性对称轴:y轴(0x) 二、二、一次函数一次函数 1. 定义定义:一般地,形如 y=kxb(k,b 是常数,k0),那么 y 叫做 x 的一次
2、函数.特别地,当 b=0 时,y=kx,此时 y 叫做 x 的正比例函数,正比例函数是一种特殊的一次函数. 2. 图像与性质:图像与性质: 一次 函数 0kkxb k k,b 符号 0k 0k 0b 0b 0b 0b 0b 0b 图象 性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小 三、三、二次函数二次函数 1. 定义:定义:一般地,形如 2 yaxbxc(abc, ,是常数,0a )的函数,叫做二次函数. 2. 解析式:解析式: (1)一般式:一般式:)0( 2 ccbxaxy; (2)顶点式:顶点式:)0( 4 4 ) 2 ( 2 2 a a bac a b xay; MathematicsPh
3、ysicsChemistry 0779-209-7897DEVOTION MAKES PROFESSION第 2 页 共 8 页 (3)两点式:两点式:)0)()( 21 axxxxa,其中)0,( , )0,( 21 xx为图像与x轴了两交点的坐标. 3.3. 二次函数二次函数 2 ya xhk与与 2 yaxbxc的比较的比较: 从解析式上看, 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 2 2 4 24 bacb ya x aa ,其中 2 4 24 bacb hk aa , 4.4. 二次函数的系数二次函数的系数cba,对图像的影响对图像的影
4、响 (1 1)系数系数a: 0a,开口向上;0a,开口向下; a越大,开口越大;a越小,开口越小; (2 2)系数系数b:ba ,的符号共同决定对称轴的位置的符号共同决定对称轴的位置, “左同右异左同右异” ba、同号:0ab,对称轴 a b x 2 在y轴左侧, ba、异号:0ab,对称轴 a b x 2 在y轴右侧; (3 3)常数常数c:与:与y轴交点坐标轴交点坐标),0(c; 5. 二次函数二次函数 2 yaxbxc)0( a的性质的性质 2 0fxaxbxc a0a 0a 图像 定义域, 对称轴 2 b x a 顶点坐标 2 4 , 24 bacb aa 值域), 4 4 ( 2 a
5、 bac 2 4 , 4 acb a MathematicsPhysicsChemistry 0779-209-7897DEVOTION MAKES PROFESSION第 3 页 共 8 页 单调区间 ) 2 ,( a b 递减 ) 2 (, a b 递增 ) 2 ,( a b 递增 ) 2 (, a b 递减 6. 二次函数二次函数 2 yaxbxc图象的画法图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk,确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标, 然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、 与y轴的交点0c,、 以及0
6、c,关于对称轴对称的点2hc,、与x轴的交点 1 0x , 2 0x ,(若与x轴没有交点,则取两组关 于对称轴对称的点). 画草图时应抓住 5 要素:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点. 7. 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 (1)当抛物线当抛物线)0( 2 acbxaxy与与x轴两个交点时,公共点的横坐标 21, x x是一元二次方程 )0(0 2 acbxax的根的根. (2)当 2 40bac 时,抛物线)0( 2 acbxaxy与与x轴有两个交点; 当04 2 acb时,抛物线)0( 2 acbxaxy与与x轴有 1 个交点(顶点) ; 当04 2 ac
7、b时,抛物线)0( 2 acbxaxy与与x轴无交点; (3)当04 2 acb时: 当0a 时,图象落在x轴的上方,0y 恒成立; 当0a时,图象落在x轴的下方,0y恒成立; 四、四、反比例函数反比例函数 1. 定义:一般地,形如定义:一般地,形如)0( x x k y的函数,称为反比例函数的函数,称为反比例函数. 2. 图像与性质:图像与性质: 函数解析式函数解析式0k0k MathematicsPhysicsChemistry 0779-209-7897DEVOTION MAKES PROFESSION第 4 页 共 8 页 x k y 性质性质 定义域),0()0,(),0()0,(
8、值域),0()0,(),0()0,( 单调性单减区间:单减区间:),0()0,(,单增区间:单增区间:),0()0,(, 奇偶性奇函数奇函数奇函数奇函数 对称性对称中心:对称中心:)0,0(对称中心:对称中心:)0,0( 五、五、指数函数指数函数 1. 定义:函数) 1, 0(aaay x 且,x为自变量,函数定义域为R. 2. 图像与性质: 10 a1a 图像 定义域R 值域 )0(, 性质 (1)过定点(0,1) ,即1,0yx时 (2)在R上为减函数(2)在R上为增函数 六、六、对数函数对数函数 1. 定义:函数) 1,0(logaaxy a 且,x为自变量,函数定义域为),0(. 2.
9、 图像与性质: 10 a1a MathematicsPhysicsChemistry 0779-209-7897DEVOTION MAKES PROFESSION第 5 页 共 8 页 图像 定义域(0,+) 值域R 性质 (1)过定点(1,0) ,即0,1yx时 (2)在),0(上为减函数(2)在),0(上为增函数 七、七、幂函数幂函数 1. 定义:形如 xy 叫做幂函数,其中x是自变量,为常数. 2. 几种常见幂函数的图像 3. 几种常见幂函数.的图像与性质 幂函数 性质 xy 2 xy 3 xy 2 1 xy 1- xy MathematicsPhysicsChemistry 0779-
10、209-7897DEVOTION MAKES PROFESSION第 6 页 共 8 页 图像 定义域RRR0,+)x|x0 值域R0,+)R0,+)y|y0 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性增函数 在(-,0是减 函数, 在0, +) 是增函数 增函数增函数 在(-,0)是减 函数, 在(0, +) 是增函数 定点(0,0) , (1,1)(1,1) 八、八、对勾函数对勾函数 1. 定义:定义: 2. 图像与性质:图像与性质: 解析式 )0,0()(ba x b axxf 图像 性质 定义域 0xx 值域 ),22,(abab 单调性 单调增区间:),( , ),( a b
11、 a b MathematicsPhysicsChemistry 0779-209-7897DEVOTION MAKES PROFESSION第 7 页 共 8 页 单调减区间:)0( , )0( a b a b , 奇偶性奇函数 对称性 对称中心:)0,0( 九、九、分式函数分式函数 1. 定义:一般地,形如:( )() axb f xadcb cxd 叫做分式函数. 2. 图像与性质: 图象是以直线, da xy cc (恰为系数之比)为渐近线的双曲线,对称中心(,) d a c c ,通常用代点法确定两支 双曲线的位置。例如: 21 35 x y x 的图象如图所示: 十、十、三角函数三
12、角函数 1. 定义:正弦函数xysin,余弦函数xycos,正切函数xytan. 2. 图像与性质: sinyx cosyxtanyx 图象 定义域RR, 2 x xkk 函 数 性 质 MathematicsPhysicsChemistry 0779-209-7897DEVOTION MAKES PROFESSION第 8 页 共 8 页 值域1,11,1R 最值 当2 2 xk k 时, max 1y;当 2 2 xk k 时, min 1y 当2xkk时, max 1y;当2xk k 时, min 1y 既无最大值也无最小值 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2,2 22 kk k 上是增函数;在 3 2,2 22 kk k 上是减函数 在2,2kkk上 是增函数; 在2,2kk k 上是减函数 在, 22 kk k 上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 ,0 2 kk 对称轴xkk 对称中心,0 2 k k 无对称轴