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1、第一篇 复变函数论 -1 - 第一篇、复变函数论与积分变换 第一篇、复变函数论与积分变换 第一章第一章 复变函数习题及解答复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形 式和指数形式(其中, ,R为实常数) （1）13i ； （2） 2(cosisin) 33 ； （3）1 cosisin+； （4） 1 i e + ； （5） i sin R e ； （6）ii+ 答案答案 （1）实部1；虚部 3；模为 2；辐角为 4 2 ,0, 1, 2, 3 kk+= L；主辐角为 4 3 ；原题即为代数形式；三 角形式为 44 2(cosisi
2、n) 33 +；指数形式为 4 i 3 2e （2）略为 5 i 3 55 2cossin, 2 33 ie+ （3）略为 iarctan tan(/ 2) 2sin() 2 c e （4）略为 i; (cos1 isin1) ee e+ （5）略为：cos( sin )isin( sin )RR+ （6）该复数取两个值 略为 i i 22(cosisin )22,arctan(12); 22(cosisin )22,arctan(12); e e +=+=+ +=+ 1.2 计算下列复数 (1). () 10 3i1+；(2). ()3 1 i1+； 答案 (1). 3512i512+； (
3、2). () 13/4 2k i 63 2 e 0,1,2k + =； 1.3 计算计算下列复数 （1）iab+； （2） 3 i； 答案 （1） 2222 2 i 2 abaaba+ （2） (/6 2/3)in e + 1.4 已知已知x为实数，求复数为实数，求复数 2 12i1x x+的实部和虚部的实部和虚部 第一篇 复变函数论 -2 - 【解】【解】 令 2 12i1i ,( ,)x xpqp qR+=+，即, p q为实数域(Real).平方得到 222 12 i1()2ixxpqxy+ =+，根据复数相等，所以 22 2 2 22 1 1 ,1 12i1(1i) pq pqx x
4、px qx x xxx = = = = += + 即实部为 , x虚部为 2 1x 说明 说明 已考虑根式函数是两个值，即为值 1.5 如果 | 1,z =试证明对于任何复常数, a b有| 1 azb bza + = + 【证明证明】 因为| 1,11/zzzzz= = =，所以 1 () ()1 | | | | | 1 () azb azbazb zazbazb z bzabza zzbzzazbazbaz + + = + 1.6 如果复数bai+是实系数方程( )0 1 1 10 =+= nn nn azazazazPL的根，则 bai一定也是该方程的根 证证 因为 0 a， 1 a，
5、， n a均为实数， 故 00 aa=， 11 aa =， ， nn aa= 且( )( ) k k zz=， 故由共轭复数性质有：( )( )zPzP=则由已知()0i+ baP两端取共轭得 ()()00ii=+=+baPbaP 即()0i baP故bai也是( )0=zP之根 注注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证此结论说明实系数多 项式的复零点是成对出现的这一点在代数学中早已被大家认识特别地，奇次实系数多 项式至少有一个实零点 1.7 证明： 2222 121212 |2(| )zzzzzz+=+,并说明其几何意义 第一篇 复变函数论 -3 - 1.8 若 (1)
6、(1) nn ii+=，试求n的值. 【解】 因为 22 22 4444 4444 (1)2 (cossin )2 (cossin) (1)2 (cossin )2 (cossin) nn nn nn nn nn nn iii iii +=+=+ = 所以 44 sinsin nn = 即为 4 sin0 n =所以 4 ,4 ,(0, 1, 2,) n knk k = L 1.9 将下列复数表为sin ,cos的幂的形式 （1） cos5； （2）sin5 答案 5324 4235 (1) cos10cossin5cos sin (2) 5cossin10cossinsin + + 1.10
7、 证明：如果 w是 1 的 n 次方根中的一个复数根，但是1w不是主根，则必有 21 10 n +=Lwww 【证明】根据题意则 0 1 11 1 1 1 1 1 132 = = =+ = n n n L 1.11 对于复数, kk ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式： 2222 1111 |(|)| nnnn kkkkkk kkkk = 成立。 【证明】 对任意 n 个复数，由三角不等式知 11 | nn kkkk kk = 再由关于实数的柯西不等式得 2222 1111 |(|)| nnnn kkkkkk kkkk = ,证毕。 1.12 证明 1 sin()sin 22 cosc
8、os2cos3cos; 2sin 2 n n + +=L 1 coscos() 22 sinsin2sin3sin 2sin 2 n n + +=L 成立 第一篇 复变函数论 -4 - 1.13 下列不等式在复数平面上表示怎样的点集？ 1）( )1Re0= = 01iIm 0iRe yz xz 且 1 arctan 4 y x = 即 += 0 1 x xy 这样的点为z平面上从点i 0 =z出发（但不含 0 z点）与实轴倾角为 4 的射线此射线所 形成的点集既非开集，也非闭集 2）设yxzi+=，则原条件即为 ()210225252 222 +=+=zzzz 即 2102522 22 +=+
9、zzz 由模的定义得 ()() 22 2 2 100441002100258yxxzx+=+=+ 化简得 第一篇 复变函数论 -5 - 1 2 3 2 5 2 2 2 2 = + yx 这是一椭圆，长半轴为 2 5 ，短半轴为 2 3 ，中心在原点，它是有界闭集（全部为边界点） 1.15 描述下列不等式所确定的点集，并指出是区域还是闭区域，有界还是无界，单连通还 是多（或复）连通. （1）2i3z （2）( ( ) )2iRe z （3）1 2 3 z z （4）( )1arg1z +zz （8）1ii + +zzzz 解解 （1）是以 i 为圆心、在以 2 为半径的圆外，3 为半径的圆内的圆
10、环，是有界闭区域、 多连通 （图形略） （2）即2 y是下半平面，无界单连通闭区域 （3）z到 3 的距离比z到 2 的距离大，因此，它是左半平面 2 1 2+zzzz 或01 3 5 2 22 +xyx 9 16 3 5 2 2 + + +yx是无界多连通区域 （6） 此不等是焦点在1= =z和2 = =z初， 长半轴为 5/2 的椭圆内部， 为有界单连通闭区域） （7）这是半支双曲线：1 17 4 4 22 yx， 的象 答案 (1) | | 2 11 | |2 z z = =w，为圆周 （2） 111i11 , (1i)22 uu zxxxx = + - wv =v 2 直线 （3） 先
11、看直线 x=1 的象， 22 222 11 i1 , 1 i111 yy uuu yyyy =+= + wvv 而 z0 的象= w在圆的外部，因此1x的象是圆的内部即为 22 uu+ 0, 0, yxu yxv ()Dyx, 归为 1）的情形，得证 o 2若0C，对 c）两端分别关于x，y求偏导得 第一篇 复变函数论 -15 - = + = + 0 0 22 22 vu y u v y v u vu x u v x v u ()0 22 + vu 即 = = 0 0 y u v y v u x u v x v u 将 b）代入得 = = 0 0 x u u x v v x u v x v u ()Dyx, ()()0, 22 +yxvyxu Q，0= = x v x u 再由 b）即得 0= y v ，0= y u 从而得( )BAzfi+=，Dz（A，B为任意实常数） 5）()()cyxbvyxu=+,a Q，()Dyx,，且a，b，c是不全为 0 的实常数 所以有0 22 +ba于是对上式两端分别关于x，y求偏导得
