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1、2018 年全国高中数学联合竞赛一试试题（B 卷） 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题8 分，满分 64 分 1设集合2 0 1 8A， ，2 |Ba aA则AB的所有元素之和是_ 2己知圆锥的顶点为 P，底面半径长为 2，高为 l，在圆锥底面上取一点 Q，使得直线 PQ 与 底面所成角不大于 45，则满足条件的点 Q 所构成的这域的面积为_ 3将 1，2，3，4，5，6 随机排成一行，记为 a，b，c，d，e，f，则abcdef是奇数数的概率 为_ 4在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点，(3,1)n 是 l的一个法向量，己知数列 n a满 足：对任意正整数 n，点 1 (,
2、) nn aa 均在 l上若 2 6a 则 12345 a a a a a的值为_ 5设，满足tan3 3 ，tan5 6 则tan的值为_ 6设抛物线 2 :2C yx的准线与 x 轴交于点 A，过点()10B ，作一直线 l 与抛物线 C 相切于点 K，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线C 交于点 M，N，则KMN 的面积为 7设( )f x是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间0,1上严格递减，且满足( )1f， (2 )1f，则不等式组 12 1( )2 x f x 的解集为_ 8 己知复数 1 z， 2 z， 3 z满足 123 1zzz， 123 1zzz 其中 r 是
3、给定实数， 则 312 231 zzz zzz 的实部是_ （用含有 r 的式子表示） 二、解答题：本大题共 3 小题满分 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9 （本题满分 16 分）己知数列 n a： 1 7a ， 1 2,1, 2,3, n n n a an a ，2 求满足 2018 4 n a 的 最小正整数 n 10 （本题满分20 分）己知定义在 R+上的函数 fx为 3 |log1|,00 = 4,9 xx f x x x 设 a,b,c 是三个互不相同的实数，满足( )( )( )f af bf c，求 abc 的取值范围 11 （本题满分 20 分）如图所示，在
4、平面直角坐标系 xOy 中，A，B 与 C、D 分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ：的左、右顶点与上、下顶点，设P，Q 是上且位于第一象限的两点， 满足/ /OQAP，M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭圆交于点 R 证明：线段 OQ，OR，BC 能构成一个直角三角形 R A B C D O P Q M x y 2018 年全国高中数学联合竞赛加试试题（B 卷） 一、 （本题满分 40 分）设a,b 是实数，函数 9 ( )f xaxb x 证明：存在 0 1,9x ，使得 0 ()2f x 二、 （本题满分 40 分）如图所示，在等腰ABC 中，AB=AC，边 AC
5、的上一点 D 及 BC 延长线 上一点 E 分满足 2 ADBC DCCE ，以 AB 为直径的圆与线段 DE 交于一点 F 证明：B，C，F，D 四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上） 三、 （本题满分 50 分）设集合1,2, An，X，Y 均为 A 的非空设空子集（允许 X = Y） X 中的最大元与 Y 中的最小元分别记为 maxX，minY 求满足 maxX minY 的有序集合对（X , Y） 的数目 四、 （本题满分 50 分）给定整数2a . 证明：对任意正整数 n，存在正整数 k，使得连续n 个 数1 k a ，2 k a ， ， k an均是合数 A BCE D F 2018
6、年全国高中数学联合竞赛一试（B卷 参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档：其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次结分，不得增加其他中间档次 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设集合A=2,0,1，剖，B=2A，贝!JAUB的所有元素之和是一一一 答案：31. 解：易知B = 4, 0, 2, 16，故AUB = 0, I, 2,
7、 4, 8, 16. AUB的所有元素之和 是0+1+2+4+8+16=31. 2.己知因锥的顶点为p，底面半径长12，高为I.在四锥底面上取 一点 Q, 使得直线PQ与底面所成角不大于45 ，则满足条件的点Q所构成的区域的面积 为 答案：3作 解：因锥顶点P在底面上的投影即为底面中心，记之为o.由条件知， OP 一一tanL.OQP三1，即OQ主1，故所求的区域面积为1f22-?rl2:3何 OQ 3.将1,2, 3, 4, 5, 6随机排成一行，记为，b,c,d,e,f，则bc+d矿是奇数的概 率为 答案：古 解：当。bc+d旷为奇数时，。be,def必为一奇一偶，若be为奇数，则。，b,
8、c 为1,3, 5的拌列，d,e,J为2,4,6的排列，这样有3！3!= 36种情况由对称性可 72 72 1 知，满足条件的情况数为362=72种从而所求概率为一一一一 6! 720 10 4.在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n= (3, 1）是l的 一 个法向 量己知数列J满足：对任意正整数n，点（叫，a，.，）均在l上若。2=6，则 a1a,aJa4a）的值为 答案： 32. 解：易失日直线l的方程是3x十y=O.因此对任意正整数n，有3a11+1 +a11 =0 , 即G叫la，故J是以1为公比的等比数列于是3= 1 a2 = 2.曲等 3 比数列的性质可得，1a23句句a;
9、=(-2)5 =-32. I 7r I l作l 5.设，9满足tanI十一I= -3, tan I (J一一1=5，则tan（ (3）的值为一一一一 l JJ l 6J 答案： 一： “贷1(_ ri11 -3-5 4 解：由两角差的正切公式可知tan I I 一一一一川 ， l l ) l 6) 1 + (-3）5 叶 一叶？，从而 tan 川叫叫卅， 6.设抛物线C:y2=2x的准线与x轴交于点A，过点 B（一l,0）作 一直线l与 抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M,N ，则6.KMN 的面积为 答案： .！ 2 解：设直线l与 MN 的斜率为k，则l: x 土y
10、-1, MN ：工土y_.! k k 2 将l与C联立，得方程y2一y+2=0，由条件知其判别式为零，如士王 。2 k 将MN 与C联立，得方程y2卡1=0，于是 l（yM+yN) 2 一川 萨2, 结合l与 MN 平行，可知 I I I I s C.KMN = s 11阳w = ls11削M -SLlBANl=-IABI IY.11-Y,vl一一2一 2 2 2 2 7.设刀功是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间l, 2上严格递减， IO4 川 的最小正整数 n. 解：由生土L，2可知G川1（，1)2.因此 ，2 ，l =(a1+1)2时82”I = 2 3x2“-1, 故。”23烛 叫
11、 一1. . 8分 显然a.单调递增由于 a11 = 23012 1 2喃36 = 4201 ORI/OM, 而i(c5P词，阳在实数人，使得 OQ（OP-OA), OR= /.t(OP + OA) 5分 此时点Q,R的坐标可分别表示是（Xo 的，Yo),( xo 的，yo）.由于点Q,R 都在椭圆上，所以 入2f马平二十41=u 2 队41=1. 1旷 b I . I a b“ I 结合4兰l知，上式可化为川2州2一丛l=l，解得 I 2x:.l Ii 。b I a I I！ 因此 2一一，u2一L一. . 10分 2（xo） 2（Xo) 1aQ1 2 + IORl 2 = . 2 ( (x
12、o十的 2 +y），1(xo-a/+yi) ！一（(.r o 吵 2 +y） + ！一（(.xo一时 2 十对） 2（ X0) 2（xo) 一（a+x0) , 句号 ， （Xo) y 二一一 2 2（ x0)2 2( a -x 0) _ 2 , ayi I 1 , 1 I _ 2曹 yJ 2 一一一一一一一一 2 l十句X0J - 2 2 -xi a2b2ILl 2 2 二x.；“J=a z十bi =1sc1 2 从而线段。Q，侃，BC能构成一个直角三角形 扭扭扭扭扭扭扭扭20分 说明： 2018年全国高中数学联合竞赛加试（B卷） 参考答案及评分标准 1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分
13、档次给分 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次 一、本题满分40分设，b是实数，函数f(x)= ax+b+2 证明：存在X0E l，坷，使得l.f(xo)I主2. 证法1：只需证明存在u，叫1，町，满足lf(u)-f伊）川，进而由绝对值不 等式得 lf(u)l+lf（叫主11(u)-tc叫三4 , 故1.rI minY的有序集合对（X, Y）的数目 解：先计算满足maxX豆minf的有序集合对（X, Y）的数目对给定的 m=maxX，集合X是集合l, 2, . , m 一l的任意一个子集与
14、m的井，故具有 2” 1 手中取法又minY主m，故Y是m,m+ I，n的任意 一个非空子集，共有 2叫1 ” 一 i科取沽 ， 20分 艺2”， 1(2川 l)艺2 一艺2mI=n2”一2”l m=I 111=1 40分 由于有序集合对（X, Y）有（2”一1) (2”1) = (2”1)2个，于是满足maxX min Y 的有序集合对（X，门的数目是 (2 一 1) 2-n2” 2“-1= 22”2气n+1). 50分 四、本题满分so分）给定整数主2.证明：对任意正整数n，存在正整数 k，使得连续n个数a k +l, a k +2，旷n均是合数 证明：设i,与i，是1, 2，n中与互素的全体整数， 则对1三i三二n, i 冒i，i,，无论正整数k如何取值，旷i均与。不互素且大于a，故旷i 为合数 . 10分 对任意j= 1, 2，r ，因ij 1 ，故毛有素因子pj. 我们有（pj,a)=l（否则 ，因 P；是素数，故P;I，但P;Ii; 从而Pjli; 故，ij不互素，与ij的取法矛盾）因此，白费马小定理知， P;- 1三 l (mod P;). 现取k= (p, -l)(p2 -1）（p, -1) + 1 .
