数学竞赛问题11-16

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1、 数学竞赛问题数学竞赛问题(11) 广州大学数学与信息科学学院 吴伟朝 396.已知090),(3090 )ADE= ,试求点M 到BC边的距离d(用关于, a的式子表示), 并由d的这个公式用三角函数方法求出d的 取值范围(用关于a的区间表示).(注:若用几 何方法来求d的取值范围,则不得分) 注注 本题被作为2005年广州大学硕士学 位研究生招生考试题(初等数学解题 科目). 423.给定两个正整数,m n,且mn,点E在AB边上,且 DE平行于BC.若ADE的周长为1152, CE= 34 ,且上底边CD及腰BC的长度均是 正整数,试求梯形ABCD的周长. 433.设 1 1a =, 1

2、 2( 1)2 nn nn aan + =+ 1 (1,2,3,)n =L,求通项公式 n a(答案用有限个 关于n的式子相加的形式来表示,且项的个数 与n无关). 434. 1 1a =, 1 2( 1)2 nn nn aan + =+1(n= 1,2,3,)L,求通项公式 n a(答案用有限个关于 n的式子相加的形式来表示,且项的个数与n 无关). 435.设 2cos ( )(0180 ) sin x f xx x =L,定 义 1122 , nn xx xx + =.求证: 3 2 11 12 1 2 nn i i ii ii x x xx = + + . 447.447.试求出所有的

3、正整数对( , )x y ,使得 x整除 2 1y+,且y整除 2 1x. 448.试求出所有的整数对( , )x y ,使得 22 1xxyy+= . 449.设aR, 11 22 xx Axa + =+=, B = 1/2sinR +,若ABI中有且仅有一个 元素,试求a的取值范围. 450.(1)问:函数( ) |sin |1| 1/2|f xx= ()xR是不是周期函数?请说明理由. (2)问:函数( )sin1sin()f xxx xR= 是不是周期函数?请说明理由. (3)问:函数( )sin 12sin()f xx xR=是 不是周期函数?请说明理由. (4)问:函数( )sin

4、( sin )()f xxx xR=是不 是周期函数?请说明理由. (5)问:函数( )sin(sin )()f xxx xR=+是 不是周期函数?如果是,请求出其最小正周期. 451.设, a b是实数, x和y都是锐角,使得 sincosxya=,且cossinxyb=,试确定, a 34 b应满足的充分必要条件. 452.设正整数4n,集合0,1,2,3, n Z = ,nL1. (1)试求最大的正整数k,使得下述命题 成立: 把 n Z中每个元素任意染上k种不同颜色 中的某种颜色(允许一些颜色不被使用),但必须 满足染色法则:“若任意的, n a bZ,且ab,a 与b同色,则对于 n

5、 cZ且( 1)aca ( 1)bb+ (mod )n ,c必与, a b同色”,按此法则无论怎样 染色, n Z中所有的元素必定全部同色.(2)在(1) 中,若把“( 1)( 1) ab ca + (mod )bn”改换成 为“( 1)( 1)(mod ) ab cban + ”,试再解同样 的问题. 注注 本题于1993年提出于河南师范大学. 453.(1)试求出所有的正整数a和b (a )b ,使得 22 ab+能整除 22 1a b + . (2)求不定方程 222 ()()1xzyzz=的 所有正整数解( , , )x y z . 注注 本题于1995年提出于河南师范大学. 454.

6、设k和n是正整数,且4k .现在把 1,2,3,4,5,1,knknL按每组n个数任意划分 为k个组,求证:可在各个组中各取一个数,使 得这k个选出的数中某 /2k个数之和等于 其余的(1)/2k +个数之和,这里 x表示不大 于x的最大整数(当3k=时是1986年全俄罗 斯数学竞赛试题). 注注 本题于1992年提出于河南师范大学. 455.设( )D n表示正整数n在十进制中 的各位数码之和. (1) 试证:若是正整数,则(2 )D (5 )D ,等号当且仅当=3时成立. (2)问:极限 (2 ) lim (5 ) D D + 是否存在?如果 该极限存在,它是否等于0? 注注 本题于199

7、4年提出于河南师范大学. 456.求证:(1)平面格点凸七边形的内部 一定包含四个格点,它们恰好是某个单位格 点正方形的四个顶点. (2)若在单位正方形上(包括内部和边界) 任取6个点,则其中必有两个点相距不大于 ( 71)/3,并且此常数( 71)/3不可更小. (3)若在边长为1的正三角形上(包括内部 和边界)任取7个点,则其中必有某两个点相距 不大于( 31)/2,并且此常数( 31)/2不可 更小. 注注 本题于1994年提出于河南师范大学. 457.设 111 0,(1,2,3,) n n n aaan a + =+=L. (1)试求出所有的 1 a ,使得 21nn aa + 1n

8、 a +n a对每一个1,2,3,n=L都成立. (2)求证:存在M (它与 1 a有关),使得只要 nM就有 211nnnn aaaa + . (3)试较精确地估计(2)中的常数M的上 界. 注注 本题于1992年提出于河南师范大学. 458.设R和C分别是由全体实数和全体 复数组成的集合,F是一个域且R F C , ( )p x是一个给定的奇数次实系数多项式,函 数:fFF对于任何的, x yF,都有 ( ( )( ( )( ) ( ( )f p xp f yp y p f x+ ( )( ( )( ) ( ( )p yp f xp x p f y=+. 试证明或否定下列两个猜想: (1)

9、若FR=,则( )()f xxxFR= =. (2)若FC=,则或者( )()f xxxFC= =, 或者( )()f xxxFC= =,其中x表示复数x 的共轭复数. 注注 本题于1998年提出于广州市,本人已 经证明:(1)对于取( )p xx=是正确的,请看本 人的论文对一个共轭型函数方程的研究 ()(广州大学学报(综合版),vol.15,No.11 (2001),第1521页)(如有人需要此论文,请来 信向本人索取). 更正更正:数学竞赛问题(10)(2004年第12 期)中两道题的: 377 题中:“A、B、C、D四点共圆” 应为“A、B、E、F四点共圆”. 379 题中:“( )

10、)( )( ) nn f xyf xf xx f y+=+” 应为“( ( ) )( )( ) nn f xy f xf xx f y+=+”. (未完待续) 35 设了许多的数学符号,有许多以他名字命名 的定理;“多面体欧拉公式”研究及发现过 程;“简单多面体”以及抽象的拓朴变换的 形象展示;简单多面体欧拉公式的多种证 明方法,如:多边形内角和方法,电荷法等;富 勒烯分子结构的数学模型即C60的数学 模型;“七桥问题”拓扑学等.内容的设置 开阔了学生的视野.借助计算机模拟有关过 程,给学生提供一个形象直观的、动态逼真的 思维推理过程,引导学生进行研究性学习,同 时鼓励学生研究,为网页增设内容

11、,有利于激 发和培养形式的创新意识,提高学生探究问 题的能力. 在运用信息技术进行创新教学的过程中, 教师应注意观念的更新、角色的转变、教材 的钻研、资源的积累、加强电脑知识的学习、 学会制作教学课件等. 信息技术以其显著的优势为现代教育开 辟了新的天地.它以声、形、色等表现形式刺 激感官,使学生眼见其形、 耳闻其声,从而使学 生的大脑皮层形成兴奋的优势中心,产生强 烈的探究欲望;它激活了学生的创造思维,培 养了学生的创新意识,也使课堂教学由教向 学转化;它带来了教育思想、教学方式、教学 手段的改变,为课程改革的实施提供了教学 技术和教学手段的支持.如何更好地完成课 程的教学内容改革,教学目标

12、改革和教学手 段改革的任务等,还需要进一步的探索和研 究. 参考文献参考文献 1 刘道玉主编.教学创新与创造思维的培养.湖南教 育出版社.2002 年. 2 章剑卫等.信息技术与课程整合的研究与实践. 中国电化教育.2001(8). 3 李子运等.信息技术与课堂教学的整合.中国远 程教育.2001(5). 4 陆志平.激活创造的潜能.南京师范大学出版社. 数学竞赛问题数学竞赛问题(12) 广州大学数学与信息科学学院 吴伟朝 459.设a是一个给定的实数,函数( )(f x x 0)满足方程2 ( )(1/ )3f xfxx+=,(x 0) ,请 解不等式( )f xa. 460. 问:是否存在

13、这样的一个函数:fR R,使得对于每个/2xk+(k为任意 的整数),都有(sin )tanfxx=?请说明理由. 461. 求证:若, ,a b c是三角形的三边长, 则有不等式 2 (2 )()(2 )ab bca bcabc cab+ (ca+ 22 )(2 )()0bca abc abc+. 注注 本题于2005年2月19日为 美国数 学月刊(Monthly) “问题解答栏”而提出并解 答. 462. 设a是实数, 2 |,Ax xRx=使得+ 230ax+, 2 ,40Bx xRxax=使得, 记S=a aR,使得闭区间 2,2ABU, 求S. 463. 求( )(13)(154)f

14、 xxx=+ 4 (3) 5 x的值域(取值范围). 464. 设 1 1a = , 1 22( 1) nn nn aan + =+ (1,2,3,)n =L,求 n a的表达式(要求写成有限 项相加的形式,且项的个数与n无关). 465. (1) 设 1 1a = , 2 2a =, 11 2 nnn aaa + = +( 1)2 (2,3,4,) nn nn=L,求 n a . (2) 设 1 1a = , 2 2a =, 1 2( 1)n nn aa + = 1n a 2 (2,3,4,) n nn+ =L,求 n a . 466. 求证:若0 i x (1,2,3,in=L;3n ;

15、规定 1122 , nn xx xx + =),则 2 1 12 ( ) (2 n i i i ii x x xx = + + 12) 0 ii xx + ,并确定何时等号成立. 注注 本题于2004年11月1日提出并解答. 33 467. 用 123 , m a a aaL表示 123 ,a a aL m a的最小公倍数,试解决下列问题: (1) 若n是正整数,且 ,1,2,3n nnn+ 3900000,试求 ,1,2,3n nnn+的最小可 能值及相应的n值. (2) 若n是正整数,且 ,1,2,3n nnn+ 3900000,试求 ,1,2,3n nnn+的最大可 能值及相应的n值. (3) 设n是正整数,试求| ,1,2,n nnn+ +33900000|的最小可能值及相应的n值. 注注 本题于2003年3月提出于广州大学. 468.设R, 1 sincos 1cos1 sin + 于两点A和B(点A在P与 B之间),且,90OBAOAB=. 注 本题于 2005 年 4 月提出并解答. 495. 在数列 n a中,其前n项之和 n S与 第n项 n a满足关系式: 33 3(1)22(1,