《高中数学必修四任意角的三角函数(人教版课件)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修四任意角的三角函数(人教版课件)（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ sin cos tan c a c b b a O a b M P c 22 : barOP bMP aOM 其中 y x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ r a OP OM cos r b OP MP sin a b OM MP tan baP, Mo 如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ P M OP MP sin OP OM cos OM MP tan OMP PMO PO PM PO OM MO
2、 PM 诱思诱思 探究探究 M O y x P(a,b) OP MP sin OP OM cos OM MP tan ，则若1 rOP b a a b 1.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中） 以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位 长度为半径的圆，称为长度为半径的圆，称为单位圆单位圆. y O P ),(ba x 1 M 2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ； ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，记
3、作的余弦，记作 ，即，即 ； cosx xcos （3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 x y tan x y tan 所以，正弦，余弦，正切都是以所以，正弦，余弦，正切都是以角为角为 自变量自变量，以，以单位圆单位圆上点的上点的坐标或坐标坐标或坐标 的比值的比值为函数值的函数，我们将他们为函数值的函数，我们将他们 称为称为三角函数三角函数. 0 , 1AO y x yxP , )0( x 使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域. )0 , 1 (A x y o P),(yx 的终边的终边 说说 明明 （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
4、）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 横坐标的比值横坐标的比值. . 的横坐标，的横坐标， 正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与 . . （2） 正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y 横坐标等于横坐标等于0， x y tan 无意义，此时无意义，此时 )( 2 zkk 轴上时，点轴上时，点P 的的 （3）由于角的集合与实数集之间可以建立）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系一一对应关系， 三角函数可以看成是三角函数可以看成是自变量为实数的函数自变量为实数的函数. 任意角的三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程： 直角三角形中定义锐角三角函数
5、直角三角形中定义锐角三角函数 a b r a r b tan,cos,sin 直角坐标系中定义锐角三角函数直角坐标系中定义锐角三角函数 a b r a r b tan,cos,sin 单位圆中定义锐角三角函数单位圆中定义锐角三角函数 a b abtan,cos,sin 单位圆中定义任意角的三角函数单位圆中定义任意角的三角函数 ,sinyxcos x y tan, 例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. 3 5 3 5 AOB解：解：在直角坐标系中，作在直角坐标系中，作 AOB ，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 13 ( ,). 22 所以所以
6、 53 sin, 32 51 cos, 32 5 tan3. 3 思考：思考：若把角若把角 改为改为 呢呢? 3 5 6 7 , 2 1 6 7 sin , 2 3 6 7 cos 3 3 6 7 tan 实例实例 剖析剖析 x y o A B 3 5 演 示 文 稿 1 2 3 后 等 电伴热带 嶈幷夻 例例2.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 . )4, 3( 0 P 22 0 ( 3)( 4)5.OP 解解:由已知可得由已知可得 设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ， ),(yxP 分别过点分别过点 、 作作 轴的
7、垂线轴的垂线 、 0 PMPP 00P Mx 4 00 PM 于是，于是， ; 5 4| 1 sin 0 00 OP PM OP MPy y yMP 3 0 OM xOM OMP 00P OM ; 5 3 1 cos 0 0 OP OM OP OMx x sin4 tan. cos3 y x 4, 3 0 P 0 M O y x M yxP , 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点， 点点 与原点的距离与原点的距离 . ),(yxP 0 22 yxrP 那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 r y r y sin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 r
8、 x r x cos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 x y 0tanx x y 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的 终边上的位置无关终边上的位置无关. P 定义推广：定义推广： 13512 2 2 22 yxr 13 12 cos r x 12 5 tan x y 5 sin, 13 y r 于是于是， 巩固巩固 提高提高 练习练习: 1.已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值. 5 ,12P 解：解：由已知可得：由已知可得： 2P15 ,8a aaa.已知角 的终边上一点R且0 ， sin ,cos
9、 ,tan求角 的的值. -15 ,8 ,xa ya解：由于 22 158170raaa a所以 1017 ,ara若则于是 88151588 sin,cos,tan 171717171515 aaa aaa 20-17 ,ara若则于是 88151588 sin,cos,tan 171717171515 aaa aaa 32sin ,cos ,tan.yx.已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解： 当角 的终边在第一象限时， 22 1,2125在角 的终边上取点，则r= 22 5152 sin,cos,tan2 55155 2当角 的终边在第三象限时， 22 1, 2125r 在角 的终
10、边上取点，则 22 5152 sin,cos,tan2 55155 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）（弧度制） 探探 究究 三角函数三角函数 定义域定义域 sin cos tan R )( 2 Zkk 2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号 y x o sin y x o cos y x o tan + （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ （ ） R + - - + - - + + - + - y x o + - + + + + + - - - - - y x o y
11、x o 全为+ y x o sin costan 记法：记法： 一全正一全正 二正弦二正弦 三正切三正切 四余弦四余弦 sin y r cos x r y x tan 三个三角函数在各象限的符号三个三角函数在各象限的符号 心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符号象限定符号. . 例例3. 求证：当下列不等式组成立时，角求证：当下列不等式组成立时，角 为第三象限角为第三象限角.反之也对反之也对 0tan 0sin 证明：证明： 因为式因为式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上； 0si
12、n 又因为式又因为式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于 第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为式都成立，所以角因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限. 于是角于是角 为第三象限角为第三象限角. 反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明. 如果两个角的终边相同，那么这两如果两个角的终边相同，那么这两 个角的同一三角函数值有何关系？个角的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一公式一） tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k 其中其中 zk 利用
13、公式一利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求求 角的三角函数值角的三角函数值 . 020360到或 ？ 例题例题 cossintantan. 例例4.4.确确定定下下列列三三角角函函数数值值的的符符号号, ,然然后后用用计计算算器器验验证证: : (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)3 (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)3 4 4 （1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ； 250 0250cos （3）因为）因为 = 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 )672tan( tan(482 360 )tan48 , tan( 672 )0; 48 解：解： （2）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 4 sin0; 4 20tantan()tan.(4)3(4)3 o 5. 911
