《（全国通用版）2019年中考数学复习 第五单元 四边形 第21讲 特殊的平行四边形练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019年中考数学复习 第五单元 四边形 第21讲 特殊的平行四边形练习（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第21讲特殊的平行四边形第1课时矩形重难点矩形的性质与判定如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABCADC90，对角线AC，BD相交于点O，DE平分ADC交BC于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB2，求OEC的面积【思路点拨】(1)四边形ABCD中有两个角的度数为90，再证明一个角的度数等于90，则可以利用三个角是直角的四边形是矩形来证明(2)根据矩形的性质及DE平分ADC，易得DEC为等腰直角三角形，从而CEDCAB2.从而要求的OEC已求出一条底边的长，从而只需要求出该边上的高即可，不妨过点O作OFBC.利用中位线的性质，求出OF的长即可【自主解答】解：(1)证
2、明：ADBC，ABCBAD180.ABC90，BAD90.BADABCADC90.四边形ABCD是矩形(2)过点O作OFBC于点F.四边形ABCD是矩形，AOBOCODO.BFFC.OF为ABC的中位线OFAB1.DE平分ADC，ADC90，EDC45.EDC是等腰直角三角形，ECCD2.SOECECOF1.1判定矩形的基本思路：(1)若已知两个角的度数为90，则再证明一个角为90，可以证明该四边形是矩形；(2)若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；(3)若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；(4)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相
3、等2应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系【拓展问题】(3)如图，小明在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，小明认为GFDF，你同意吗？请说明理由【思路点拨】连接EF，由折叠和中点性质可知EGED，利用“HL”证明RtEG
4、FRtEDF即可【自主解答】解：同意理由如下：连接EF.根据折叠的性质，得AEEG，ABGE.四边形ABCD是矩形，DA90.DBGEEGF90.点E是AD的中点，AEEDEG.在RtEGF和RtEDF中，RtEGFRtEDF(HL)GFDF.对于解决矩形中的折叠问题，有以下三方面的思路：(1)折叠的性质：折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段等均相等；(2)找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系；(3)一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当的未知数，解方程来求线段长.(4)在(3)的条件下，若DC2FC，试判断AD与AB的数量关系，并说明理由【
5、思路点拨】不妨设CDx，根据题目中所给信息分别用含有x的代数式表示出CD，BC的长度，从而求得两条线段的比【自主解答】解：ADAB.理由如下：设FCx，则BGABDC2x.由(3)知，GFDF，GFx.BFBGGF2xx3x.在RtBFC中，由勾股定理，得BC2x.ADAB.【变式训练】(2018青岛)已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD. (1)求证：ABAF；(2)若AGAB，BCD120，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.AFCDC
6、G.GAGD，AGFDGC，AGFDGC(ASA)AFDC.ABAF.(2)结论：四边形ACDF是矩形理由：AFCD，AFCD，四边形ACDF是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，BADBCD120.FAG60.ABAGAF，AFG是等边三角形AGGF.AGFDGC，FGCG.AGGD，ADCF.四边形ACDF是矩形考点1矩形的性质1如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(D)AABC90 BACBD COAOB DOAAD2如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若AOD120，AB6，则AC等于(C)A8 B10 C12 D183(2018内江)如图，将矩
7、形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.已知BDC62，则DFE的度数为(D)A31 B28 C62 D564如图，在矩形ABCD中，AB3，BC5，点E在AD上，且BE平分AEC，则ABE的面积为(D)A2.4 B2 C1.8 D1.55(2018株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为6(2018江西)如图，在矩形ABCD中，AD3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DEEF，则AB的长为3. 7.(2018湘西州)如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连
8、接DE，CE.(1)求证：ADEBCE；(2)若AB6，AD4，求CDE的周长解：(1)证明：在矩形ABCD中，ADBC，AB90.E是AB的中点，AEBE.在ADE与BCE中，ADEBCE(SAS)(2)由(1)知，ADEBCE，则DEEC.在RtADE中，AD4，AEAB3.由勾股定理知，DE5.CDE的周长2DECD2DEAB16.考点2矩形的判定8(2018上海)已知ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)AAB BAC CACBD DABBC9(2018湘潭)如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是(B)A正方形 B矩形 C菱形
9、D平行四边形10(2018新疆)如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AECF，连接DE，BF.(1)求证：DOEBOF；(2)若BDEF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AOCO，BODO.又AECF，AOAECOCF，即OEOF.在DOE和BOF中，DOEBOF(SAS)(2)四边形EBFD是矩形DOEBOF，ODEOBF，DEBF.DEBF.四边形EBFD是平行四边形又BDEF，四边形EBFD是矩形11(2018通辽)如图，在ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交B
10、E的延长线于点F，且AFCD，连接CF.(1)求证：AEFDEB；(2)若ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论证明：(1)E是AD的中点，AEDE.AFBC，AFEDBE，EAFEDB.AEFDEB(AAS)(2)四边形ADCF是矩形证法(一)：连接DF.AF平兴奇CD，四边形ADCF是平行四边形AEFDEB，BEFE.又AEDE，四边形ABDF是平行四边形DFAB.又ABAC，DFAC.四边形ADCF是矩形证法(二)：AFCD，四边形ADCF是平行四边形AEFDEB.AFDB.又AFCD，DBCD，即AD是ABC的中线ABAC，ADBC.ADC90.四边形ADCF是矩形12(
11、2018威海)矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BCEF2，CDCE1，则GH(C)A1 B. C. D. 13(2018玉林)如图，在ABCD中，DCAD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM与NN，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M，N，连接EF.(1)求证：四边形EFNM是矩形；(2)已知AE4，DE3，DC9，求EF的长解：(1)证明：过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别为G，H.34，12，EGAD，EMCD，EMAB，EGME，GEEM.EGME
12、MEMM.同理可证，FHNFNFNN.CDAB，MMCD，NNCD，MMNN.MENFEGFH.又MMNN，MMCD，四边形EFNM是矩形(2)DCAB，CDADAB180.3CDA，2DAB，3290.在RtDEA中，AE4，DE3，AD5.四边形ABCD是平行四边形，DABDCB.又2DAB，5DCB.25.由(1)知，GENF，在RtGEA和RtNFC中，GEANFC(AAS)AGCN.在RtDME和RtDGE中，DEDE，MEGE，RtDMERtDGE(HL)DMDG.DMCNDGAGAD5.MNCDDMCN954.四边形EFNM是矩形，EFMN4.14数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指(D)AS长方形ABMNS长方形MNDCBS长方形EBMFS长方形AEFNCS长方形AEFNS长方形MNDCD.S长方形EBMFS长方形
