函数单调性和最大小值

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1、1.3.1单调性与最大（小）值,-函数的单调性,一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相 应函数的哪些变化规律：,y,x,1,1,-1,y,问：随x的增大，y的值有什么变化？,-1,画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1f (x) = x 从左至右图象上升还是下降_? 在区间 _ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 _ ,2f (x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降 _? 在区间 _ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 _ ,上升,（-，+）,增大,下降,（-，+）,减小,3f (x) = x2 在区间 _ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _ 在区间 _

2、 上，f (x)的值随 着x的增大而 _ ,(-,0,减小,（0，+）,增大,对区间D内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2),图象在区间D逐渐上升,？,O,对区间D内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2),x1,x2,？,D,f(x1),f(x2),O,M,N,任意,区间D内随着x的增大，y也增大,图象在区间D逐渐上升,对区间D内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2),x1,x2,都,f(x1),f(x2),O,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.,如果对于区间D上的任意,定义,M,N,任意,两个自变量的值x1,x2，,区间D内随

3、着x的增大，y也增大,图象在区间D逐渐上升,D,那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.,类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.,x,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.,如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2，,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.,如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2，,那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调 区间.,增,当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2 )，,单调区间,注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函

4、数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；,函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。,下列说法是否正确？请画图说明理由。,（3）如果对于区间（0，+）上的任意x有f(x)f(0),则函数在区间（0，+）上单调递增。,（1）对于区间（a,b）上得某3个自变量的x1,x2,x3, 当a x1x2x3b 时，有f(a)f(x1) f(x2)f(x3)f(b),则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。,（2）对于区间（a,b）上有无数个自变量的x1,x2,x3,xn, 当a x1x2xnb 时，有f(a)f(x1)f(x2)f(xn)f(b),则函数f(

5、x)在区间（a,b）上单调递增。,2单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：,(1)这个单调区间可以是整个定义域 如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数,(2) 这个单调区间也可以是定义域的真子集 如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-,0是减函数,在 0,+)是增函数.,(3)有的函数没有单调性区间,例1下图是定义在5，5上的函数yf(x)的图象,根据图象说出yf(x)的单调区间,以及在每一单调区间上, y f(x)是增函数还是减函数.,（二）典型例题,书写单调区

6、间时，注意区间端点的写法。,对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。 但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。,单调区间之间必须用“，”隔开，或者用“和” 连接，但千万不能用“”连接，也不能用“或”， “且”连接。,例2. 指出下列函数的单调区间：,无单调减区间,归纳：函数 的单调性,k0,k0,归纳： 函数 的单调性,_;,_.,例2.指出下列函数的单调区间：,思考2：函数 的单调区间呢？,思考1：函数 的单调区间呢？,解：,的对称轴为,练习：判断函数 的单调区间。,单调递增区间：,单调递减区间：,成

7、果运用,若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。,解：二次函数 的对称轴为 , 由图象可知只要 ，即 即可.,若二次函数 的单调增区间是 ,则a的取值情况是 （ ）,变式1,变式2,请你说出一个单调减区间是 的二次函数,变式3,请你说出一个在 上单调递减的函数,A. B. C. D.,讨论函数 在(-2,2)内的单调性.,变式4,解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a，,（1）当a-2时，f(x)在(-2,2)单调递增；,（2）当-2a2时，f(x)在(-2,2)没有单调性， 但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；,（3）当a2时，f(x)在(-2,2)单调递减

8、。,变式5,讨论函数f(x)=x2-2x+3在区间(a,a+3)上的单调性。,例3. 指出下列函数的单调区间：,思考1：,思考2：函数 的单调区间是什么？,的单调增区间是,归纳： 在 和 上的单调性？,没有单调增区间,的单调区间,，,，,证明：函数f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。,证明：设x1,x2是(0，+)上任意两个实数， 且x1x2，则,f(x1)- f(x2)=,由于x1,x2 得x1x20,又由x10 所以f(x1)- f(x2)0, 即f(x1) f(x2),因此 f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。,取值,定号,变形,作差,下结论,3证明函数单调性的方法步骤 利用

9、定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,例4、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强 p将增大。试用函数的单调性证明之。,证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则,由V1，V2 (0，+)得V1V20, 由V10,又k0,于是,所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.,取值,定号,结论

10、,判断函数 在区间(0,1)上的单调性.,解:设,则 f(x1)f(x2),0x1x21,1+x1x20,x2x10, f(x1)f(x2)0 .,即 f(x1)f(x2) .,故此函数在(0,1)上是减函数.,4.判断函数f(x)=x3+1在(,+)上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论.,所以f(x)在(,0)上是减函数,例：已知函数f(x)是定义在（-，+）上的单调增函数， 解不等式 f (2x) f (1+x),例5,变式,例：已知函数f(x)是定义在（-1，1）上的单调 增函数， 解不等式 f (2x) f (1+x),练习,1.已知函数f(x)是定义在-1,2)上的增函数， 若

11、f(a-1)f(1-3a)，求实数a的取值范围。,是定义在R上的单调函数，且 的图 象过点A（0，2）和B（3，0） （1）解不等式 （2）求适合 的 的取值范围,变式,思考与讨论,f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数， 那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间 D内还具备单调性吗？情况如何？ 你能证明吗？能举例吗？,1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数， 则F(x)=f(x)+g(x)为增函数。,2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数， 则F(x)=f(x)+g(x)为减函数。,3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数， 则F(x)=f(x)-g(x)为增函数。,4.若f(x)为减

12、函数，g(x)为增函数， 则F(x)=f(x)-g(x)为减函数。,1.已知函数f(x) 的定义域为R ，且对任意 ， 都有f(a+b)=f(a)+f(b) ，且当 x0时，f(x)0 恒成立， 证明：函数 f(x)是 R上的减函数；,证明抽象函数的单调性,三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 作 差 变 形 定 号 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。,区间是,提高性练习,1.3.1单调性与最大（小）值,-函数的最大

13、（小）值,下列两个函数的图象：,观 察,f(x) M,(0)=1,2、存在0，使得(0)=1.,1、对任意的 都有(x)1.,1是此函数的最大值,知识要点,M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：,一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x I，都有f (x) M; （2）存在 ，使得 .,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足： （1）对于任意的的xI，都有f(x) M; （2）存在 ，使得 ， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.,2.函数最大（小）值应该是所有函数值中 最大

14、（小）的，即对于任意的xI，都有 f(x)M（f (x)M）,注 意：,1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0I，使得f (x0) = M；,3.最大值和最小值统称为最值。,判断以下说法是否正确。,2.设函数f (x)=1-x2，则f (x) 2成立吗? f(x)的最 大值是2吗？为什么？,如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是a，b吗？,函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.,如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对定义域内任意x都有 成立，由此你能得到什么结论？,思考1,思考2,探究:函数单调性与函数的最值的关系,（1）若函数y=f (x)在区间m，n (mn)上单调递增，则函数y=f (x)的最值是什么？,O,x,y,当x=m时，f (x)有最小值f (m)，当x=n时,f (x)有最大值f (n).,(2)若函数y=f(x)在区间m，n上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？,O,x,y,当x=