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1、多边形,及其内角和,三角形的定义：,在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。,四边形的定义：,在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形。,五边形,六边形,七边形,多边形的定义：,在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的（封闭）图形。,下定义,多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形其中三角形是最简单的多边形。,如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。,注意：n所代表的数字必须是汉字中的数字，如三角形，六边形，十边形等等，但当问题问这个多边形有多少条边时，我们可以用阿拉伯数字说明这个n边形有3
2、条边，4条边等。,根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角,边,顶点,内角,外角,对角线,组成多边形的线段叫做多边形的边,相邻两边的交点叫做多边形的顶点,相邻两边的夹角叫做多边形的内角,多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角,连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线,想一想,三角形有对角线吗？为什么？,没有，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以三角形没有对角线。,回想三角形的表示方法，这个多边形应该如何表示？,首先给每个顶点标上一个大写字母，然后写出这个图形是几边形，最后再以一个字母为起点，沿顺时针或逆时针
3、方向将字母按顺序写出。如四边形ABCD，五边形ABCDE， n边形A1 A2A3A4A5A6An,A3,A4,A1,An,A6,A5,如图所示，观察两个图形，找出相同点和不同点,如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形,如果整个多边形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凹多边形,另外，根据多边形的内角和是否大于180，我们也可以区分这两种多边形。而中学阶段我们一般说的多边形都是凸多边形。,观察下列图形，它们的边、角有什么特点？,它们的边都相等，角也都相等,各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。,反过来，由定义可以得，正多边形有什么性质呢？,练一练,1、填空题
4、 （1）连接多边形（ ）的线段，叫做多边形的多角形。 （2）多边形的任何（ ）所在的直线，整个多边形都在这条直线的（ ），这样的多边形叫做凸多边形 。 （3）各个角（ ），各条边（ ）的多边形，叫做正多边形。 （4）一个n边形有（ ）条边， （ ）个顶点， （ ）个内角， （ ）个外角。 2、画出下列多边形的全部对角线,不相邻的两个顶点,一条边,同一侧,都相等,都相等,n,n,n,n,三角形的内角和是180，那么四边形的内角和是多少呢？五边形呢？你是如何得到这个结论的？,合作学习,B,A,C,D,E,探究,5边形内角和=3180=540,请你利用分割的方法探索五边形的内角是多少？,E,A,B,
5、C,D,O,方法2,180 5 360= 540,180 5=900？,五边形内角和540？,把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？,A,B,C,D,E,F,180 4 180 = 540,方法3,选择同一种方法分别求出任意六边形、七边形、八边形的内角和等于多少度？,你能写出任意n边形的内角和吗？,从五边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将五边形分为多少个三角形，五边形的内角和等于180（ ）。,从六边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将六边形分为多少个三角形，六边形的内角和等于180（ ）。,从七边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将七边形分为多少个三角
6、形，七边形的内角和等于180（ ）。,我们是怎样求多边形内 角和的？,就是从多边形的一个顶点出发，能引几条对角线把一个多边形分成几个三角形。,总结：n边形内角和公式,n边形内角和=(n2) 180,三角形,六边形,四边形,八边形,五边形,是解决多边形问题的常用辅助线,对角线,多边形问题 三角形问题,转化,（未知）,（已知）,合作学习,请探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律.,3,4,5,6,7,n,1,n-2,2,3,4,5,180,360,540,720,900,(n2) 180,(n2) 180,5 180,4 180,3 180,2 180,1 180,从上表中得到了什么结论？,结论
7、：n边形的内角和为： （n2）180(n3).,n边形共有对角线 条(n3),n边形从一个顶点出发的对角线有(n3)条(n3),练一练:,（2）已知一个多边形的内角和为720o ，则这个多边形是_边形,6,（3）在五边形ABCDE中，若A=D=90o,且 B:C:E=3:2:4,则C的度数为_,80o,（1）求十边形的内角和的度数。,解：(102)180=8 180=1440,答:十边形的内角和是1440,过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形,求: (1)这个多边形的边数. (2)这个多边形内角和的度数.,3、填空(求边数) 1、已知一个多边形的内角和为1080，则它的边数为
8、。 2、已知一个多边形的每一个内角都是156，则它的边数为。,8,15,ABDE， CDAF（已知）,13，24（两 直线平行，内错角相等）,1+23+4， 即FABCDE，同理BE，CF,FABCE= 12 720=360,例1 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？,1.任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？ 2.五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少？ 3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？,6,从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多
9、边形的外角和。,由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。,即：多边形的外角和等于360,3180o-1180o=360o,4180o-2180o=360o,5180o-3180o=360o,6180o-4180o=360o,n180o-(n-2)180o=360o,合作学习,多边形的外角和,从上表中得到了什么结论？,结论：任何多边形的外角和为360,（1）八边形的内角和为_，外角和为_,1080,360o,（2）已知一个多边形的每一个外角都是72o，求这个边形的边数为_,5,FAB+ABC+BCD+CDEDEFAFE=（6-2）180=720,解： DEAB 1=R
10、,同理2=R 12，,CDE=FAB,同理AFEBCD，ABC=DEF,FABBCDDEF= 720=360,例： 一个六边形如图，已知ABDE，BCEF， CDAF，求ACE的度数。,拓展：一个六边形如图，已知 BADE ，B= E，C=F （1）求证：CDAF,（2）求ACE的度数,这节课你学到了什么? 还有什么困惑？,1.“三个一”（一个定义、一个公式和一个性质）,2. 一种重要数学思想方法（转化思想）,谈一谈,小结:,是解决多边形问题的常用辅助线,对角线,多边形问题 三角形问题,转化,（未知）,（已知）,结论,n边形的内角和为(n2) 180(n3),n边形从一个顶点出发的对角线有(n3)条(n3),n边形共有对角线 条(n3),任何多边形的外角和为360,
