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1、湖北省咸宁市2014-2015学年度下学期期末考试 高一数学(B) 咸宁市教育科学研究院命制 2015.6 一、选择题。(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的题号填在答题卷相应的位置上。） 1。sin 的值为 A.- B. C. - D.,解：sin(4+ )=sin(+ )= - sin = -,2.为了得到函数y=3sin(2x- )的图象，只需将函数 y=3sin2x的图象上所有的点 A.向左平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向右平移,解：令2x=2x- ，则x=x- ，即将已知函数y=3sin2x中的x换成x- 所
2、以选D,3.在ABC中，AB=5,BC=7,AC=8,则 的值为 A.79 B.69 C.5 D.-5,A,B,C,解：cosABC=,所以选D.,4.设a1b-1.则下列不等式中恒成立的是 A. C.ab2 D.a2 2b,解：取a=2,b=0,排除了A,B.,取a=1.1,b=0.9,排除了D.选C,证明：1b-1，b21,所以ab2。,5.设m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正 确的是 A.若mn,n,则m; B.若m,nm,则n; C.若m,n,则mn; D.若,则,6.数列an的通项an=cos2 -sin2 ,其前n项的和为Sn,则S2015为 A.-1 B.-
3、C.1 D.2,解: an=cos2 -sin2 =cos,它的周期是3，a1=- ,a2=- ,a3=1, a4=- ,a5=- ,a6=1;,因为a1+a2+,a3=0，且2015=3671+2 所以S2015=- - =-1,7.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： BM与ED平行， CN与BE是异面直线 CN与BM成60o角 , DM与BN是异面直线 以上四个命题中，正确命题的序号是 A. B. C. D.,D,E,解：错，排除了A.,错，排除了B,D. 故选C.,8.在ABC中，A,B,C所对的边分别是a,b,c.且a= bsinA,则sinB= A. B. C. D.-,解
4、：由正弦定理知，a=2RsinA,b=2RsinB,代入已知，得 sinB= . (注意，在ABC中，sinA0.）,9.在R上定义运算：xy=x(1-y).若不等式（x-a)(x+a)1对任意的实数 x成立，则实数a的取值范围是 A.a-1a1 B.a0a2 C.a- a D.a- a ,解：（x-a)(x+a)=（x-a)1-(x+a),所以（x-a)1-(x+a)0.故其判别式0.即 1-4（-a2+a+1）0，选C.,10.数列1，1+2，1+2+22, , 1+2+22+23+24+2n-1,的前n项和为 A.2n-1. B.n2n-n. C. 2n+1-n. D.2n+1-n-2.
5、,解法一：取n=1,2.即可排除A,B,C.选D。,解法二：通项（即第n项）1+2+22+23+24+2n-1=2n-1 1=2-1，1+2=22-1， 1+2+22=23-1， 数列的前n项和为（2-1）+（22-1）+（ 23-1）+（2n-1） =（2+22+23+2n)-n =2(2n-1)-n 选D .,11.已知数列an的首项a1=1，an+1=3Sn(nN*),则下列结论正确的是 A.数列an 是等比数列， B.数列a2,a3,an是等比数列 C.数列an是等差数列， D.数列a2,a3,an是等差数列,解法一：在an+1=3Sn中，取n=1，2，3，4。得 a2=3, a3=1
6、2, a4=48, a5=192,。 故选B.,解法二：当n=1时， a2=3。 当n2时，an+1=3Sn， an=3Sn-1. an+1 - an= 3an。 an+1=4an（n2） 而a2=3a1，故选B,12.有一个长方体容器ABCD-A1B1C1D1装的水恰好占其容积的一半，表示水平的桌面，容器的 一边BC紧贴桌面，沿BC将其翻转使之倾斜，最后水面（阴影部份）与其各侧棱的交点分别是E,F,G,H.设翻转后容器中的水形成的几何体是M，翻转过程中水和容器接触面积为S则下列说法中正确的是 A.M是棱柱，S逐渐增大， B.M是棱柱，S始终不变 C.M是棱台，S逐渐增大 D.M是棱台，S始终
7、不变,解：显然不是棱台。,由于高AD不变，所以底面积不变。,又底面是梯形，梯形高AB不变AE+BF的值不变。,黄色的两个长方形的面积和AEAD+BFAD=AD(AE+BF)不变。 即S始终不变。,二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卷相应的位置上） 13.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它3m的前项和为_,解法一：设等差数列an的前n项和Sn,则Sn=An2+Bn. Am2+Bm=30 4Am2+2Bm=100 Am2=20,Bm=10. 数列的前3m的前项和为9Am2+3Bm=920+30=210.,解法二：a1+a2+am, am+1
8、+am+2+a2m, a2m+1+a2m+2+a3m, 也成等差数列， 又a1+a2+am=30， am+1+am+2+a2m=70,a2m+1+a2m+2+a3m=110 该数列的前3m的前项和为30+70+110=210.,14.若关于不等式组 表示的平面区域是直角三角形区域则正数k,的值为_.,y=kx+1,y= x,解：,2,15.若（0， ），cos( )=2 cos2, 则sin2=_.,解：cos cos+sin sin=2 (cos2-sin2) ( cos+sin)=2 (cos+sin)(cossin),因为（0， ），所以cos+sin0.,cossin=,上式两边平方得
9、sin2=,16.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图，为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮。现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同）设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式是_.,解：f(1)=1， f(2)=f(1)+41，f(3)=f(2)+42， f(4)=f(3)+43。 , f(n)=f(n-1)+4（n-1).,上述n 个式子相加，得f(n)=1+41+42+43+4（n-1) =2n2-2n+1,三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤。） 17.（本小题满分10分）解关于x的不
10、等式： .（a是常数且a0）,知识回顾：分式不等式的解法是 1、移项，通分直到不等号一边为0，另一边是一个分式; 2、写出同解的整式不等式（分式变成整式）; 3、解整式不等式，从而得到原不等式的解集。,解：移项，通分得 ， 其同解不等式是（ax-1)(x-1)0,因为a0，这是一个 一元二次不等式,令（ax-1)(x-1)=0，得x1=1,x2=,为了确定两个根的大小， 需要作差1- =,当a1时,1 ,原不等式解集为x 1,原不等式解集为x 1x .,18.（本小题满分12分）已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x(xR) 求f(x)的最小正周期和最大值 若f( )= sinA,其
11、中A是面积为 的锐角ABC的内角，且 AB=2，求边AC和BC的长,解：f(x)=sin2x+cos2x= sin(2x+ ) 故f(x)的最小正周期是，最大值是 。,A,B,C,2,b,a,由 f( )= sinA得 sin(2 + )= sinA， 结合A为锐角，知A= 又面积 = 2bsin . 所以AC=b=3. 再根据余弦定理得 BC2=9+4-23=7. BC= 1,19.（本小题12分）.已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn , 且Sn= 求a1,a3; 求证：数列an为等差数列，并写出其通项公式。,解：当n=1时有S1= =0，a1=0； 从而2Sn=nan， 当n=3时，
12、有2（a1+a2+a3）=3a3，a3=2.,证明：当n2时，有2Sn=nan 2Sn-1=(n-1)an-1 两式相减 2an=nan-(n-1)an-1 即（n-2)an=(n-1)an-1 , 当n3时，,将右边的 n-1个式子相乘，得an=n-1，（n3） 又n=1，2时，上式也成立。 数列an的通项公式为an=n-1。 显然an-an-1=1,故数列an为等差数列。,20.(本小题12分)已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的 动点 求四棱锥P-ABCD的体积. 是否不论点E在何位置，都有BDAE?试证明你的结论。,2,2,1,1,正视图,俯视图,侧视图,解：从三
13、视图知 DC=1,PC=2,BC=1,PCCD,PCCB, 四边形ABCD为正方形,解：从三视图知 DC=1,PC=2,BC=1,PCCD,PCCB, 四边形ABCD为正方形,四棱锥P-ABCD的体积为,结论为不论点E在PC上的什么位置，都有BDAE证明如下： PCCD,PCCB, PC面ABCD, PCBD. 连结AC,则ACBD BD面ACP。 又AE面ACP, BDAE.,21。（本小题满分12分）如图所示。是海面上一条南北方向的海防警戒线，在上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B,C分别在A的正东方20km处和54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A,
14、20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. 设A到P的距离为xkm，用x分别表示B,C到P的距离，并求x的值。 求静止目标P到海防警戒线的距离（结果精确到0.01km）,解：PB=PA81.5=x12, PC=PB201.5=x18,在APB中，应用定理得 cosPAB= =,在APC中，应用定理得 cosPAC=,所以 =,解得,22.（本小题满分12分）已知正数数列an, bn中a1=0,b1=1,且当nN+时,有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列。 求数列an, bn的通项公式； 求最小自然数k，使得当nk时，对任意实数0,1,不等式 (23)bn(24)an+3恒成立。,解：2bn=an+an+1 （an+1）2=bnbn+1 由得an=
