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1、武汉铁路桥梁学校 黄苏华 2003.11.,椭 圆,平面解析几何椭圆,2,定义 标准方程 几何特性 例题 小结 练习,椭 圆,平面解析几何椭圆,3,定 义,平面上与两定点F1、F2的距离之和（大于 F1 F2 ）为常数的点的轨迹叫做椭圆。两定点 F1 和 F2 叫做椭圆的焦点。,F1,F2,M,平面解析几何椭圆,4,标准方程,以过两焦点F1和 F2的直线作为 x 轴，线段F1F2的中点 o 为原点，建立直角坐标系。,设两焦点之间的距离为2c (c0)，则焦点的坐标分别是F1(c, 0)和F2 (-c, 0)。,y,o,(- c, 0),(c, 0),x,F2,F1,平面解析几何椭圆,5,标准方
2、程,设M（x，y）为椭圆上任意一点，它到两焦点F1及F2的距离之和用2a（a0）表示。,根据椭圆的定义，MF1+MF2= 2a .,y,o,F2 (- c, 0),F1(c, 0),M (x , y),x,平面解析几何椭圆,6,根据两点间的距离公式，得,化简，整理得 (a2c2) x2 + a2y2 = a2(a2c2 ).,y,o,F2 (- c, 0),F1(c, 0),M (x , y),x,因为在MF1F2中，M F1+M F2 F1F2, 所以2a2c，ac，a2c2， a2c2 0.,令a2c2 =b2，则有 b2x2+a2y2 = a2b2 .,用a2b2去除上式两边，得,（ab
3、0） （1）,标准方程,平面解析几何椭圆,7,说明：,（1）当a=b时，方程（1）便成为,这是圆心在原点，半径为a的圆的方程，可见圆是椭圆的特例。,方程（1）叫做椭圆的标准方程。,标准方程,（ab0） （1）,平面解析几何椭圆,8,（2）如右图所示，设椭圆的焦点在 y轴上，焦点坐标为F1( 0, c )和F2 ( 0, -c ) (c0)， 可得椭圆的标准方程为,说明：,（ab0） （2）,其中a、b、c间的关系仍是,标准方程,（ab0） （1）,平面解析几何椭圆,9,几何特性,由标准方程,（1）范围,可得,由此可知椭圆应该在由四条直线,所围成的矩形之内。,平面解析几何椭圆,10,由标准方程,
4、（2）对称性,可知，椭圆有两条对称轴：X轴和Y轴。两条对称轴的交点（坐标原点）叫做椭圆的中心。,几何特征,平面解析几何椭圆,11,在标准方程,（3）与坐标轴的交点,可知椭圆与 y轴的交点是,中，,可知椭圆与x轴的交点是,A2 (- a,0),A1(a ,0),B1 (0 , b),B2( 0,-b ),几何特征,平面解析几何椭圆,12,y,o,F2,F1,x,（3）与坐标轴的交点,A1、A2、B1、B2 四点叫做椭圆的顶点。,A2,A1,B1,B2,线段A1A2=2a叫做椭圆的长轴，a 叫做椭圆的长半轴；,线段B1B2= 2b 叫做椭圆的短轴，b 叫做椭圆的短半轴；,线段 F1F2 = 2c
5、叫做椭圆的焦距， c 叫做椭圆的半焦距。,几何特征,平面解析几何椭圆,13,注意：,（1） 根据椭圆的定义和它的形状， 可知椭圆的焦点一定在长轴上。,（2）a 、b、c三个量之间， 恒有“勾股弦”的关系： a 2 = b 2 + c 2 。,a,b,c,b,a,c,几何特征,平面解析几何椭圆,14,（4）椭圆的离心率,由右图可看出，当b/a的值愈接近于零时，椭圆就愈扁平；当 b/a 的值愈接近于1时，椭圆愈接近于圆。,所以当 c / a 的值愈接近于1时，椭圆就愈扁平；当 c / a 的值愈接近于零时，椭圆愈接近于圆。,几何特征,b,因此c / a 的值可以刻划出椭圆的扁平程度。,平面解析几何
6、椭圆,15,椭圆的焦距与长轴之比，叫做椭圆的离心率。通常用e 表示离心率，即,所以圆的离心率是零。,几何特征,平面解析几何椭圆,16,例 题,平面解析几何椭圆,17,例1：设椭圆的焦点是 F1(4, 0)与 F2(- 4, 0) ，2a =10，求椭圆的标准方程。,由已给条件知c=4，a=5，于是,即椭圆的标准方程为,解：设所求椭圆的标准方程为,返回例题,例 题,平面解析几何椭圆,18,例2：设椭圆的焦点是F1(0, 4)与F2(0, - 4) ， b =3，求椭圆的标准方程。,由已给条件知 c=4，b=3，于是,即椭圆的标准方程为,解：设所求椭圆的标准方程为,返回例题,例 题,平面解析几何椭
7、圆,19,例3：求椭圆16 x2 + 25y2 = 400的长轴、短轴、顶点和焦点的坐标。,于是长轴在x轴上，且a=5，b=4。则长轴 2a=10，短轴2b=8.,即,解：将所给方程的两端除以400，化成,顶点为（5，0）、（0，4）.,因为,所以焦点为（3，0）。,返回例题,例 题,平面解析几何椭圆,20,例4：设椭圆的一个焦点是,由已给条件知,于是椭圆的标准方程为,解：设椭圆的标准方程为,与短轴之和为10，求椭圆的标准方程。,且长轴,解此方程组得 a=3，b=2。,返回例题,例 题,平面解析几何椭圆,21,例5：设椭圆的离心率是e = 0.28，焦点坐标为（7，0），求椭圆的标准方程。,
8、c=7，,则椭圆的标准方程为,解：设所求椭圆的方程为, a=25,返回例题,例 题,平面解析几何椭圆,22,例6：设椭圆的焦距与长半轴的和为10，离心率为1/ 3，求椭圆的标准方程。,则椭圆的标准方程为,解：设椭圆的方程为,解得 a = 6，c = 2.,返回例题,例 题,平面解析几何椭圆,23,例7：我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地球的中心F1为一个焦点的椭圆，近地点 A距离地球439公里，远地点B距离地球2384公里，地球半径为6371公里，求卫星运行的轨道方程。,解：如图建立坐标系。,设卫星的运行轨道方程为,返回例题,例 题,它的焦点为F1(c,0)，F2(-c,0)，顶点
9、为A(a,0)，B(-a,0)。,平面解析几何椭圆,24,即卫星轨道方程为, F1A=6371+439=6810， BF1=6371+2384=8755，,而F1A=OA - OF1= a - c， BF1=BO + OF1= a+c，,解得a=7782，c=973，从而,返回例题,例 题,平面解析几何椭圆,25,小 结,定义,平面上与两定点F1、F2的距离之和（大于 F1 F2 ）为常数的点的轨迹叫做椭圆。两定点 F1 和 F2 叫做椭圆的焦点。,标准方程,平面解析几何椭圆,26,几何意义,对称轴 长轴A1A2= 2a，a为长半轴； 短轴B1B2= 2b，b为短半轴。 焦点 焦点在长轴上。焦
10、距F1F2 = 2c ， c为半焦距。 顶点 椭圆有四个顶点A1、A2、B1、B2。 参数间的关系 a 2 = b 2 + c 2 。,小 结,平面解析几何椭圆,27,练 习,平面解析几何椭圆,28,练 习,一、求下列椭圆的长轴、短轴、离心率、顶点和焦点坐标：,返回练习,平面解析几何椭圆,29,练 习,一、求下列椭圆的长轴、短轴、离心率、顶点和焦点坐标：,返回练习,平面解析几何椭圆,30,练 习,一、求下列椭圆的长轴、短轴、离心率、顶点和焦点坐标：,返回练习,平面解析几何椭圆,31,练 习,一、求下列椭圆的长轴、短轴、离心率、顶点和焦点坐标：,返回练习,平面解析几何椭圆,32,练 习,二、已知
11、椭圆的两个顶点为（4，0），一个焦点为（2，0），求它的标准方程。,解：设椭圆的标准方程为,因为a=4，c=2，所以 b2= a2-c2=16-4=12.所以椭圆的标准方程为,返回练习,平面解析几何椭圆,33,练 习,三、已知椭圆的中心在原点，一个顶点和一个焦点分别是直线 x + 3y 6=0与两坐标轴的交点，求它的标准方程。,解得直线 x + 3y 6=0与两坐标轴的交点为A(6,0)，B(0, 2)。,（1）如右图所示，若A(6,0)为焦点，B(0, 2)为顶点，,解：,三,返回练习,则b=2 , c=6, a2=b2+c2=40. 此时椭圆的标准方程为,平面解析几何椭圆,34,练 习,三
12、、已知椭圆的中心在原点，一个顶点和一个焦点分别是直线 x + 3y 6=0与两坐标轴的交点，求它的标准方程。,解：,（2）如右图所示，若A(6,0)为顶点，B(0, 2)为焦点，,0,x,x,所以椭圆的标准方程为,返回练习,则b=6 , c=2, a2=b2+c2=40. 此时椭圆的标准方程为,平面解析几何椭圆,35,练 习,四、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，并经过点M1(6, 4)和M2(8, -3)，求它的标准方程。,解：设椭圆的标准方程为,将点M1(6, 4)和M2(8, -3) 的坐标代入标准方程得,四,所以椭圆的标准方程为,返回练习,平面解析几何椭圆,36,练 习,五、已知
13、椭圆的中心在原点，对称轴重合于坐标轴，并过点M1(3, 0)和M2(0, -4) ，求其标准方程。,解：由题设可知M1和M2是椭圆的两个顶点。,所以椭圆的标准方程为,五,因a b，所以a=4，b=3，且长轴在y轴上。,返回练习,平面解析几何椭圆,37,练 习,六、已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距等于8，长半轴与短半轴之和等于8，求椭圆的标准方程。,解：设椭圆的标准方程为,所以椭圆的标准方程为,六,则有,返回练习,平面解析几何椭圆,38,练 习,七、已知椭圆的离心率为35，焦距与长轴的和为32，求椭圆的标准方程。,解：设椭圆的标准方程为,所以椭圆的标准方程为,七,则有,返回练习,平面解析几何椭圆,39,两条对称轴 六个关键点 a、b、c间的关系 a2 = b2 + c2,几何特性,a,b,c,a,平面解析几何椭圆,40,谢谢收看,平面解析几何椭圆,42,
