《复变函数与积分变换复习提纲以及5套题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换复习提纲以及5套题（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念： ， 是实数, zxiy. . Re,Imxy21注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模： ；2zxy2）幅角：在 时，矢量与 轴正向的0x夹角，记为 （多值函数） ；主值Argz是位于 中的幅角。arz(,3） 与 之间的关系如下：arctnyx当 ；0,xgz当 ；,arctn,0,gyyxz4）三角表示： ，其cosin中 ；注：中间一定是“+”号。argz5）指数表示： ，其中 。izeargz(二) 复数的运算1.加减法：若 ，则1122,zxiyzxiy122z2.乘除法：1）若 ，则122,zxiyzxiy；2 1121 1
2、212122xiyizi xyxyi。2）若 , 则1212,iizez； 1212i121ize3.乘幂与方根1、 若 ，则(cosin)izze。nni2、 若 ，则(csi)izze122osin(0,12)nkkn（有 个相异的值）（三）复变函数1复变函数： ，在几何上可以wfz看作把 平面上的一个点集 变到 平面zDw上的一个点集 的映射.G2复初等函数1）指数函数： ，在cosinzxey平面处处可导，处处解析；且 。zze注： 是以 为周期的周期函数。 （注ze2i意与实函数不同）3） 对数函数： ln(arg2)Lzizk1（多值函数） ；(0,12)k主值： 。 （单值函ln
3、argziz数）的每一个主值分支 在除去原Lzlnz点及负实轴的 平面内处处解析，且；1lnz注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同）3）乘幂与幂函数： ；(0)bLnae(0)bLnze注：在除去原点及负实轴的 平面内处z处解析，且 。1bz4）三角函数： sincossin,cos,t,22ciiziizieezzgt在 平面内解析，且sin,coz,sinzz注：有界性 不再成立；i1,c（与实函数不同）4） 双曲函数 ；,22zzeeshch奇函数， 是偶函数。 在zz,szch平面内解析，且z。,shczshz（四）解析函数的概念1复变函数的导数1）点可导： =0fz；0limzf
4、2）区域可导： 在区域内点点可导。fz2解析函数的概念1）点解析： 在 及其 的邻域内fz0z可导，称 在 点解析；2）区域解析： 在区域内每一点解fz析，称 在区域内解析；f3）若 在 点不解析，称 为()00z的奇点；fz3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件：在 可,fzuxyivzxiy2导和 在 可微，且在,uxy,v,xy处满足 条件：CD,vvxyx此时， 有 。ufzi2函数解析的充要条件：在区域内解析,fzuxyiv和 在 在 内可微，, D且满足 条件：
5、C；,uvvxyx此时 。fzi注： 若 在区域 具有一阶,uxyvD连续偏导数，则 在区域,xyv内是可微的。因此在使用充要条件D证明时，只要能说明 具有一阶连,uv续偏导且满足 条件时，函数CR一定是可导或解析的。()fzuiv3函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以形式给出，如第,fzuxyiv二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数 是以 的形式给出，如第二fz章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念：， 是光1limnkckfzdfzc滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分
6、。2复变函数积分的性质1） （ 与1ccfzdfzd1c的方向相反） ；2） ,c ccfzgzfzgzd是常数；3） 若曲线 由 与 连接而成，则c12。12cccfzdfzfzd3复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：；（cccfzduxvdyixudy常用于理论证明）32）参数方法：设曲线 ： c，其中 对应曲线 的()zttc起点， 对应曲线 的终点，则 c。()cfzdfztdt（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理：设 在单连fz域 内解析， 为 内任一闭曲线，BcB则 0cfzdA2复合闭路定理： 设 在多连域f内解析， 为 内任意一条简单闭D曲线， 是 内的
7、简单闭曲线，12,nc c它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于 内，12,nc D则 其cfzdA1,kncfzd中 与 均取正向；k ，其中 由 及0fzdc所组成的复合闭路。1(,2)ckn3闭路变形原理 ： 一个在区域 内D的解析函数 沿闭曲线 的积分，fzc不因 在 内作连续变形而改变它的cD值，只要在变形过程中 不经过使c不解析的奇点。fz4解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单连域 内解析， 为fzBGz在 内的一个原函数，则212112(,)zfdzzB说明：解析函数 沿非闭曲线的积fz分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。 柯西积分公式：设 在区域 内fzD解析
8、， 为 内任一正向简单闭曲线，cD的内部完全属于 ， 为 内任意一0zc点，则 002cfzdifA6高阶导数公式：解析函数 的导数fz仍为解析函数，它的 阶导数为n0102(1,2)()!nncfzidfz A其中 为 的解析区域 内围绕 的cfzD0z任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 。47重要结论：。 12,0()ncindzaA（ 是包含 的任意正向简单闭曲线）8复变函数积分的计算方法1）若 在区域 内处处不解析，用一fzD般积分法 cdfztdt2）设 在区域 内解析，fz 是 内一条正向简单闭曲线，则由cD柯西古萨定理， 0cfzdA 是 内的一条非闭曲线， 对应c12
9、,曲线 的起点和终点，则有2121zcfdfFz3）设 在区域 内不解析fzD 曲线 内仅有一个奇点：c（000102()!c nncfzdifzffzA()fz在 内解析） 曲线 内有多于一个奇点： cfzdA（ 内只有一个奇点 ）1kncfzdAi k或：（留数基12Re(),nkkcfzdisfzA本定理） 若被积函数不能表示成 ，1()nofz则须改用第五章留数定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念：若二元实函数在 内有二阶连续偏导数且满足(,)xyD，20为 内的调和函数。(,)xy2解析函数与调和函数的关系 解析函数 的实部 与虚fzuivu部 都是调和函数，并
10、称虚部 为实v部 的共轭调和函数。u 两个调和函数 与 构成的函数v不一定是解析函数；但()fzi是若 如果满足柯西,uv黎曼方程，则 一定是解析函数。iv3已知解析函数 的实部或虚部，求fz解析函数 的方法。fuiv1）偏微分法：若已知实部 ，,uxy5利用 条件，得 ；CR,vxy对 两边积分，得vuy（*）dgx再对（*）式两边对 求偏导，得（*） vudygxx由 条件， ，得CRv，可求出 udygxyx；g代入（*）式，可求得 虚部。 uvdyx2）线积分法：若已知实部 ，,uxy利用 条件可得CR，vdxdyxdy故虚部为 ；0,xyuc由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折
11、线）计算它，其中 与 0,xy,是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部 ，,uxy根据解析函数的导数公式和 条件得CR知，uvufziixy将此式右端表示成 的函数 ，由于Uz仍为解析函数，故fzfzdzc（ 为实常数）c注：若已知虚部 也可用类似方法求出实v部 .u（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列 （ ）nnaib1,2收敛于复数 的充要条件为lim,linnb（同时成立）2）复数列 收敛 实数列 同n,nab时收敛。2复数项级数1）复数项级数 收敛的0()nnaib充要条件是级数 与 同时收敛；0n0n2）级数收敛的必要条件是 。limn注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个
12、实数项级数的敛散性问题的讨论。6（十）幂级数的敛散性1幂级数的概念：表达式或 为幂级数。00()nncz0ncz2幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数 在 处收敛，0ncz0那么对满足 的一切 ，该级数z绝对收敛；如果在 处发散，那么对0满足 的一切 ，级数必发散。0zz2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 比值法 如果 ，则1lim0nc收敛半径 ；R 根值法 ，则收敛li0nc半径 ；1 如果 ，则 ；说明在整个复0R平面上处处收敛；如果 ，则
13、；说明仅在或 点收敛；0z注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。 （如 ）20ncz3幂级数的性质1）代数性质：设 的收敛半00,nnazb径分别为 与 ，记 ，1R212mi,R则当 时，有z000()nnnnabazbz（线性运算） 01000()()()nn nnazbababz（乘积运算）2）复合性质：设当 时，r，当 时，0nfazR解析且 ，gzgr则当 时，。0nnfgzagz3）分析运算性质：设幂级数 的收0naz敛半径为 ，则0R 其和函数 是收敛圆内0nfza的解析函数；7 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 10nfzazzR 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变； 100z nnafdzR（十一）幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数 在圆域fz内解析，则在此圆域内 可0zR以展开成幂级数 ；并且此展开00!nnfzfz式是唯一的。注：若 在 解析，则 在 的泰fz0fz0勒展开式成立的圆域的收敛半径；0Rza其中 为从 到 的距 最近一0zf0z个奇点 之间的距离。 2常用函数在 的泰勒展开式0z1）2301!nznzze 2） 201nnzz z3） 3521 210() ()sin!n nzzz z 4） 242
