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1、您所下载的资料来源于 弘毅考研 资料下载中心获取更多考研资料，请访问 http:/2007200720072007 年研究生入学考试数学二试题一、选择题： 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .（ 1 ）当 0x + 时，与 x 等价的无穷小量是（ A） 1 e x （ B） 1ln 1 x x+ （ C） 1 1x+ （ D） 1 cos x （ 2 ） 函数 1(e e) tan( )e exxxf xx+= 在 , 上的第一类间断点是 x= （ ）（ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （
2、D） 2（ 3 ） 如图 ， 连续函数 ( )y f x= 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上 、 下半圆周 ， 在区间 2,0 , 0,2 的图形分别是直径为 2 的下 、 上半圆周 ， 设 0( ) ( )dxF x f t t= ，则下列结论正确的是：（ A） 3(3) ( 2)4F F= (B) 5(3) (2)4F F=（ C） 3(3) (2)4F F= （ D） 5(3) ( 2)4F F= （ 4 ）设函数 ( )f x 在 0x= 处连续，下列命题错误的是：（ A） 若 0 ( )limx f xx 存在 ， 则 (0) 0f = （ B） 若 0
3、( ) ( )limx f x f xx + 存在 ， 则 (0) 0f = .（ B）若 0 ( )limx f xx 存在，则 (0) 0f = （ D）若 0 ( ) ( )limx f x f xx 存在，则 (0) 0f = . （ 5 ） 曲线 ( )1 ln 1 e xy x= + + 的渐近线的条数为您所下载的资料来源于 弘毅考研 资料下载中心获取更多考研资料，请访问 http:/（ A） 0. （ B） 1. （ C） 2. （ D） 3. （ 6 ） 设函数 ( )f x 在 (0, )+ 上具有二阶导数 ， 且 ( ) 0f x ， 令 ( )nu f n= ， 则下列结
4、论正确的是：(A) 若 1 2u u ，则 nu 必收敛 . (B) 若 1 2u u ，则 nu 必发散(C) 若 1 2u u ， 1 2ln1 0 ln 2u u= = = ， 而 ( ) lnf n n=发散，则可排除（ A） ；取 21( )f x x= ， 46( ) 0f x x = ， 1 211 4u u= = ，而 21( )f n n= 收敛，则可排除（ B） ；取 2( )f x x= ， ( ) 2 0f x = ， 1 21 4u u= .对任意 ( )1,x + ，因为 ( ) 0f x ，所以 1( ) ( ) 0f x f c ，对任意 ( )2 1, + ，
5、 ( )1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f f x x = + + + .故选（ D） .【 评注 】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算 .类似例题见文登强化班笔记 高等数学 第 1111 讲 【 例 24242424 】 ， 数学复习指南 （ 理工类）第一篇【例 1.221 221 221 22 】 .7 .【 分析 】 本题考查二元函数可微的充分条件 . 利用可微的判定条件及可微与连续 ， 偏导的关系 .【 详解 】 本题也可用排除法 ， （ A） 是函数在 ( )0,0 连续的定义 ； （ B） 是函数在 ( )0,0 处偏导您所下载的资料来
6、源于 弘毅考研 资料下载中心获取更多考研资料，请访问 http:/数存在的条件 ； （ D） 说明 一阶偏导数 (0,0), (0,0)x yf f 存在 ， 但不能推导出两个一阶偏导函数 ( , ), ( , )x yf x y f x y 在点 (0,0) 处连续 ， 所以 （ A） （ B） （ D） 均不能保证 ( , )f x y在点 ( )0,0 处可微 . 故应选（ C） .事实上，由 ( ) 2 2( , ) 0,0 ( , ) (0,0)lim 0x y f x y fx y =+ 可得22 20 0( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0)lim lim 00x xf
7、x f f x f xx xx = =+ ，即 (0,0) 0,xf =同理有(0,0) 0.yf =从而 0 ( , ) (0,0) ( (0,0) (0,0) )lim x yf x y f f x f y + = 2 20 0( , ) (0,0) ( , ) (0,0)lim lim 0( ) ( )f x y f f x y fx y = = + .根据可微的判定条件可知函数 ( , )f x y 在点 ( )0,0 处可微，故应选 (C).【 评注 】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微 .类似例题见文登强化班笔记 高等数学 第 9999 讲 【
8、例 3333 例 5555 】 ， 数学复习指南 （ 理工类）第一篇【例 8.118 118 118 11 】 .8, 【 分析 】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分 .【 详解 】由题设可知， ,sin 12 x x y ，则 0 1, arcsiny y x ，故应选（ B） .【 评注 】本题为基础题型 . 画图更易看出 .类似例题见文登强化班笔记 高等数学 第 10101010 讲 【 例 5555 】 ， 数学复习指南 （ 理工类）第一篇【例 10.610 610 610 6 】 ， 【例 10.710 710 710 7 】 .9 .【 分
9、析 】本题考查由线性无关的向量组 1 2 3, , 构造的另一向量组 1 2 3, , 的线性相关性 . 一般令 ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , A = ，若 0A = ，则 1 2 3, , 线性相关；若 0A ， 则 1 2 3, , 线性无关 . 但考虑到本题备选项的特征 ， 可通过简单的线性运算得到正确选项 .您所下载的资料来源于 弘毅考研 资料下载中心获取更多考研资料，请访问 http:/【 详解 】由 ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 1 0 + + = 可知应选（ A） .或者因为( ) ( )1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 0 1, , ,
10、, 1 1 00 1 1 = ，而1 0 11 1 0 00 1 1 =，所以 1 2 2 3 3 1, , 线性相关，故选（ A） .【 评注 】本题也可用赋值法求解，如取 ( ) ( ) ( )T T T1 2 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 = = = ，以此求出（ A） ， （ B） ， （ C） ， （ D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项 .完全类似例题见文登强化班笔记 线性代数 第 3333 讲 【 例 3333 】 ， 数学复习指南 （ 理工类）第二篇【例 3.33 33 33 3 】 .10 .【 分析 】 本题考查
11、矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系 ， 只要求得 A的特征值 ，并考虑到实对称矩阵 A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案 .【 详解 】 由 22 1 11 2 1 ( 3)1 1 2E A = = 可得 1 2 33, 0 = = = ，所以 A的特征值为 3,3,0 ；而 B的特征值为 1,1,0.所以 A与 B不相似 ， 但是 A与 B的秩均为 2 ， 且正惯性指数都为 2 ， 所以 A与 B合同，故选（ B） .【 评注 】若矩阵 A与 B相似，则 A与 B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值 .所以通过计算 A与 B 的特征值可立即排除（ A） （ C） .完全类似
12、例题见数学复习指南 （理工类）第二篇【例 5.175 175 175 17 】 .11 【 分析 】本题为 00 未定式极限的求解，利用洛必达法则即可 .【 详解 】 23 20 01 cosarctan sin1lim lim 3x xxx x xx x +=2201 cos (1 )lim3xx xx +=202 cos sin (1 ) 1 1 1lim6 3 6 6xx x x xx + += = + = .【 评注 】本题利用了洛必达法则 . 本题还可用泰勒级数展开计算 .因为 3 3 3 31 1arctan ( ), sin ( )3 6x x x o x x x x o x=
13、+ = + + ，您所下载的资料来源于 弘毅考研 资料下载中心获取更多考研资料，请访问 http:/所以 30 arctan sin 1lim 6x x xx = .完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学 第 1111 讲 【 例 17171717 】 ， 数学复习指南 （ 理工类）第一篇【例 1.311 311 311 31 】 .12 .【 分析 】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义 .【 详解 】因为4 4d cos 2d sin 2cos sin 2 2t ty tx t t t = = = + ，所以曲线在对应于 4t = 的点的切线斜率为 22 2 + ，故曲线在对应于 4t
14、= 的点的法线斜率为 2 22+ .【 评注 】本题为基础题型 .类似例题见文登强化班笔记 高等数学 第 2222 讲 【 例 15151515 】 和 【 例 16161616 】 ， 数学复习指南 （理工类）第一篇【例 2.82 82 82 8 】 .13 .【 分析 】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式 .【 详解 】 ( )21 2,2 3 2 3y yx x= =+ + ，则 ( ) 1( 1) 2 !( ) (2 3)n nn nny x x += + ，故 ( ) 1( 1) 2 !(0) 3n nn n ny += .【 评注 】本题为基础题型 .完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第 2222 讲【例 21212121 】 ， 数学复习指南 （理工类）第一篇【 2.262 262 262 26 】 ， 【例 2.272 272 272 27 】 .14 .【 分析 】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解 ， 即先求出对应齐次方程的通解 Y ， 然后求出非齐次微分方程的一个特解 *y ，则其通解为 *y Y y= + .【 详解 】对应齐次方程的特征方程为21 24 3 0 1, 3
