《电动力学刘觉平版课后答案EDEX第4章 (4)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电动力学刘觉平版课后答案EDEX第4章 (4)（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 四 章 恒 场目录目录目录目录习题 4.1恒场的基本方程 .2习题 4.2恒场能量的势表达式 .7习题 4.3恒场唯一性定理 .8习题 4.导体系静电叠加原理与静电屏蔽效应 .8习题 4.5导体系电容与电势系数和相互作用能 .9习题 4.6导体系静电平衡条件与静电体系稳定性 .12习题 4.7Gren定理与 Gren互易定理 .12习题 4.8作用在导体面上的电场力 .12习题 4.9恒场中的多极展开 .15这一章是所有电动力学教材都要涉及的内容，题目也不难。习 题 4.11 试由 恒 场所 满足 的基 本方 程导 出恒 场条 件。解 ：恒 场满 足的 基本 方程 ， , 00,f fDE
2、BHj= 0, 0f fjt t=且 有 , ,DEBH=所 以 , 1 0, 00, 0f fE Et t tB Bjt t t = = 因 无穷 远处 ,EB均 为 0， 由亥 姆霍 兹定 理知 ， 0, 0EBt t= 此 即为 恒场 条件 。证 毕2 从 式 （ 4.140） 导 出式 （ 4.14） ， 从 而验 证两 个稳 恒电 流回 路之 间的 相互 作用 力满 足牛顿 第三 定律 。1 2 1 23 312 3 3()()().(4.1.40)4 | |( )().(4.1.44)4 | |f fv vL LL jxjxxxF dxdx xxI dldlxxF xx = = 解
3、 ：若 电流 体系 是一 个稳 恒电 流圈 L， 则 ( )()f ffsjdvjddlIjxdconst= = 所 以1 21 23 312 3 3 3 3()()()4 | |()4 | |( )() () 4 | | | |f fv vLLLLjxjxxxF dxdx xxI dldlxxxxI dldlxx xxdldlxx xx= = = + 3 1() 1 0| | | |1 0| |L sxxdl dxx xxrrxx = = = 而 第 一 个 等 号 是 用 了 斯 托 克 斯 定 理第 二 个 等 号 是 由 于所 以 12 3( )()4 | |LLI dldlxxF x
4、x = 证 毕3 应 用 静 电场 的势 方程 证明 ()()px =是 一个 位于 原点 的电 偶极 矩为 p的 电偶 极子的 电荷 密度 。证 ：对 于原 点处 的电 偶极 子， 20 001 11,4 41 1,4pr pr rE pr = = 所 以 20 0 1 1 ()41 1()()()4 i jjijjii Eprp pxr = 4.证 明 :(1)在 面电 荷两 侧 ,电 势是 连续 的 ,但 电势 的法 向微 商却 有跃 变1 21212nnj j w - = 式 中12n是 边界 面的 法向 ,而 w是 边界 面上 的面 电荷 密度 .(2)在 面电 偶极 层两 侧 ,电
5、 势的 法向 微商 是连 续的 ,但 电势 却有 跃变 :12 1201npjj e-=?式 中 ,0lim .lp ls s ?= 是 面 电 偶 极 层 的 面 电 偶 极 矩 密 度解 (1)1 112112112=nDnDnj j =-?- 12= =Dw -原 式(2)12 12 12012 120 01( )(+)-1 -1 =()E nnpnljj re se e? =- = ? ? 证 明 ： （ 1） 因为 E= 所 以 (,)xyzdlE=因 而 是 x,yz的 连续 可微 函数 ，故 有 12=又1212( )nD = ， 12 221( )( )D=所 以 112212
6、/ /n n=（ 2） 如图 所示 由 （ 1） 中结 论知1 1112312/ | / |S sn n =2 2312212/ | / |S sn n =将 两式 相加 得 ( )( )1 2 2 1112212312312/ | / | / | / | 0S s S sn n n n +=区 域 1区 域 2区 域 3 1S2S其 中 2 1 2312312 3212/ | / |S sn nln =当 0l时 ，1 2112212/ | / |S sn n =0又 1 11 3| |S S=， 2 22 3| |S S=所 以1 2123 3 3 0120312| | (1/)( )S
7、Sl nln = 其 中 0303Vl lEldvQlp = （ 此处 V只 包含 一个 分界 面）所 以12 012(1/)np=5.有 一 半 径 为 a的 磁化 介质 球 ,球 心取 在坐 标原 点 ,若 球中 的磁 化强 度为 2( )zMAzBe=+ ,求 磁化 电流 和等 效磁 荷 .解 ： 磁 化电 流密 度：2det/ / / 000x y zm ee ej Mxy zAzB = + 1212( )mnM=因 为20M=所 以面 磁荷 流密 度：121det/ / / (/)(/)00x y zm x yeeenMxayazaMyzexaeM = =+ 磁 荷密 度 0 0 0
8、2m MMAzz =面 磁荷 密度01212 01210( )m znMnMMa = = = 6.证 明 :若 稳 衡 电 流 I形 成 的 电 流 圈 对 场 点 x所 张 的 立 体 角 为 W,则 该 电 流 圈 的 场 点 的 磁 标势 是 /(4)mIj p=-W解 :将 这一 电流 圈划 分成 无数 的小 电流 圈， 对于 每一 个小 块面 元， 都相 应的 有一 个磁 矩， dmId=它 所产 生的 磁标 势为 14mId dr = （ 1）所 以整 个回 路 L产 生的 磁标 势是 14mIdR = 2 drdrRd=这 里， 我们 对立 体角 的 正负 进行 规定 ：按 右手
9、 螺旋 法则 ， 当 观察 点在 曲面 法向 的正 方向 时 ， 立 体角 0， 以 前大 多数 情况 下认 为 是 总大 于零 的。所 以 当 我们 认为 r与 R的 方向 相同 时， 那么 2 2 drRdrRd=2 214 4mI IRdR = =反 之， 仍然 得到 这个 结果 。这 里处 理与 书上 略有 不同 ， 将 书上 的问 题揭 露出 来了 。 关 键是 这里 面 ， 2dRd=不 是总能 成 立 ， 左 边 总 是 大 于 零 ， 右 边 可 正 可 负 。 事 实 上 ， 如 果 我 们 认 为 是 总 大 于 零 的 ， 而 将正 负号 归于 电流 I， 那 也可 以
10、。 这 里的 一些 问题 本质 上是 由于 观察 点与 坐标 原点 不是 同一 点 。7 证明 ： 在孤 立的 带电 导体 表面 上， 电场 强度 的法 向导 数由 下式 给出 ： 121 11( )EnRR=+式 中1R与 2R是 曲面 的主 曲率 半径 。证 明 ： 在 导体 的表 面的 一面 积元 S处 沿导 体的 表面 法向 方向 取一 小体 积元 ， 使 两底 面分别 在导 体内 外， 设导 体 S上 所带 的电 荷为 q， 而上 下底 面均 与法 向垂 直， 而导 体内部 电场 为 0， 那么 由高 斯定 理可 知：0qEd=i得 0qESES=i （ 因为 ES） 有 0qES=
11、令 sS=则 有0qEs=那 么得 20EqEss s= ,EEsEsnsnsn= 曲 面的 主曲 率半 径为 R1和 R2,又 1211ssnRR =+ 即 121 11( )EnRR=+关 于 主 曲 率 半 径 R1和 R2定 义 ： 由 于 对 一 个 曲 面 ， 过 其 中 一 点 做 一 个 切 平 面 ， 平 行 切 平面 总有 两个 互相 垂直 的方 向， 对每 一个 方向 都有 一个 曲率 半径 ，所 以总 共有 两个 曲率 半径 。8： 有 一点 电 荷 q位 于某 一直 线上 ，以 该直 线为 轴幅 向展 开三 个半 无穷 大平 面。这 个面 形成 的三 个二 面角 分别
12、 为 1， 2， 3， 1232+=。 每个 二面 角内充 满一 种均 匀介 质， 其介 电常 量分 别为123,。 求空 间的 电势 分布 ，电 场强 度和 电位 移矢 量。 解 ： 从 电荷 所在 的点 为原 点 ， r为 半径 作一 球体 ， 则 以各 介质 的交 线为 直径 看去 可将 球分 成三 个 二 面 角 分 别1,2,3的 扇 体 。 而 电 场 方 向 均 为 沿 着 半 径 的 方 向 ， 电 场 线 与 等 势 面 正交 ，等 势面 为球 面， 即 ()r=, ()()rErEr=故123EEEE=因 此 Ddq=2 2 231 21 2 34 4 4Dr Dr Dr
13、q + + =而 DE=代 入 2 2 231 21 2 24 4 4Er Er Er q + + =得 到 31122332( )qE rr= + , 31122332( )ii i qDE rr = + 又 rEdr= 且 123EEEE=所 以123=1122332( )qr+9： 一半 径 为 a的 磁壳 沿径 向磁 化， 使表 面磁 矩为 ( )02cosMP， 这里 为 极角 ，( )2cosP是 二阶 Legndre多 项式 ，求 球外 的磁 标势 。解 ：由 磁标 势的 定义 有2 0mm=在 球外 有 2 0m=解 得100( )(cos)cossinl l mm l l l m mlml crdPAmBr
