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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划相似和合同的关系定义如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为AB。等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；对称性若A与B等价，则B与A等价传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：设A是n阶可逆矩阵，B是nm矩阵，求出矩阵X满足AXB原理：AXB时设A是n阶可逆矩阵，B是mn矩阵，求出矩阵X满足XAB。解：由方程XABXAABA解为x=BA-1-1-1-1-1要注意的是，矩阵方程XAB的解为x=BA
2、TTTTTTT，而不可以写成x=AB。TT-1T-1T因为X满足XABX满足AXB从而有X=B=T-1所以，可以先用上述方法求解AXB，再把所得结果X转置即得所需的XBA。定义如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有定义设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=pAP。则称A和B是相似的，记为AB。-1当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=PAP时，我们就说A经过相似变换变成了B。同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：反身性AA，这说明任意一个方阵都与自己相
3、似。事实上，有矩阵等式-1对称性若AB则BA，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。事实上，有传递性若AB，BC则ACP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。事实上，由B=PAP，C=QBQ即可推出C=QPAPQ=A定理相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。-1-1-1-1-1定理阶方阵A与对角阵PAP=特征向量。-1相似的充分必要条件是A有n个线性无关的两个重要结论：任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，
4、则A一定与对角阵相似.定义如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交，则称该向量组为正交向量组。定义若是R中的一个正交向量组，且其中每个向量都是n单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。定理正交向量组必线性无关。必有向量组正交，且是标准正交组。(正交单位向量组)，则称A为正交矩阵。，则称A与B正交相似。定义如果n阶实方阵A满足定义设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得定理对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得对角矩阵中的n个对角元就是A的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。定理两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵定义设
5、A，B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得。则称A与B合同。由上面的定义可见矩阵A与矩阵B相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若Q正交，则,所以A与B正交相似与A与B正交合同是一回事。合同关系也有反身性：即任给方阵A，有，所以，A与A合同；，则对称性：若A与B合同，则存在可逆阵P使得所以B与A也合同。传递性:因为A与B合同，B与C合同，则存在可逆阵P，Q，使得A与C合同。定理实对角矩阵定理设n阶矩阵为正定矩阵当且仅当中的所有对角元全大于零。，注意PQ一定可逆，所以是正定矩阵，则A中所有对角元定理设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵。定理同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。
6、定理n阶对称矩阵定理n阶对称矩阵推论n阶对称矩阵n阶对称矩阵是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵的n个特征值全大于零的n个顺序主子式的正惯性指数为n.合同于单位矩阵。(3)任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.矩阵的合同，等价与相似的联系与区别XX09113李娟娟一、基本概念与性质等价：1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。2、矩阵等价的充要条件：A?B?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。合同：1、概念，
7、两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP?B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B?P?1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为AB。2、矩阵相似的性质：ATBT,AkBk,A?1B?1(前提，A,B均可逆)|?E-A|?|?E?B|即A,B有相同的特征值AB?r(A)=r(B)tr(A)?tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：充分条件：矩阵A,B有相同的
8、不变因子或行列式因子。充要条件：AB?(?E?A)?(?E?B)二、矩阵相等、合同、相似的关系、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A?(?1,?2,?,?n)，B?(?1,?2,?,?m)1、若向量组是向量组的极大线性无关组,则有m?n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)?r(B)但不能得出A?B。2、若m=n，两向量组?则有矩阵A,B同型且r(A)?r(B)?AB,A?B,A?Br(A)?r(B)?A?B。3、若A?B?r(A)?r(B)?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有A?B?(?1,?2,?,?n)?(
9、?1,?2,?,?n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。、矩阵合同。相似，等价的关系。1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、合同、相似、等价之间的递推关系相似?等价：AB?A,B同型且r(A)?r(B)?A?B合同?等价：A?B?A,B同型且r(A)?r(B)?A?B相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当AB时，|?E?A|?|?E?B|?二次型f(x)?XTAX与g(x)?XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数?A?B?A?B即有AB?A?B
10、?A?B、存在一个正交矩阵P，即PTP?E使得PTAP?B即A?B则有?1B?PTAP?PAP?AB即有A?B?AB、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则AB时有AB?A?B?A?B、AB?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B)下面讨论r(A)?r(B)时AB,A?B,A?B成立的条件。由、的论述可知存在正交矩阵P时，有PT?P?1，则r(PTAP)?r(A)记B?PTAP则r(A)?r(B)此时A?B?AB?A?B即P为正交矩阵时，由r(A)?r(B)?AB,A?B,A?B1、矩阵等价：同型矩阵而言一般与初等变换有关秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩
11、阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：针对方阵而言秩相等是必要条件本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：针对方阵而言，一般是对称矩阵秩相等是必需条件本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵相似，合同与等价1等价的意思就是秩相等PA=B说明行向量组秩相等AP=B是列。当
12、A为方阵时候PAQ=B秩相等2正交就是说里面的行全部正交3相似说明AB等秩，行列式一样，特征值一样但是特征向量不同，相似能推出合同实数对称矩阵一定能有N个正定的特征向量一定有对角矩阵与其对应。A行列式=0说明有秩为04A合同B就是说正负惯性指数一样，其他的都可能不同就是说A秩是正数个数和B一样负的个数也一样，0非负非正。也可以数二次型的平方的系数正负的数量是一样的，用这2种方法解题目。求秩，求二次型系数5正定说明实对称矩阵的特征值全部大于0，主子式也大于0，相互间的行列式符号一样，对角线上的数全为正6对于实对称矩阵，相似一定合同，但是合同不一定相似。考察合同关键看正负惯性指数。所以只要判断出两
13、个秩相等的实对称矩阵的特征值符号就行了。7矩阵的三种关系：1等价：s*n矩阵A,B等价存在可逆的s阶P和n阶Q使得B=PAQ.2合同：A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得PAP=B。3相似：A,B，均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得P-1AP=B。(若P正交，则为正交相似矩阵)4三种关系的联系：a，相似矩阵一定是等价矩阵，反之不然。b，A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,且PQ=E,则A与B相似。c，正交矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵比为相似矩阵;相似阵，合同阵必为等价阵，反之不然；相似阵为正交相似，合同阵为正交合同，此时相思和合同一致。d，相似与合同矩阵之等价TH:1、A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A与B既相似又合同。2、n阶矩阵A与B中只有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同。3、A与B相似且合同，C与D相似且合同,则与(BO/OD)既相似又合同。目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
