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1、第3章 运算方法和运算部件,3.1 数据的表示方法和转换 3.2 带符号的二进制数据在计算机中的表示 方法及加减运算 3.3 二进制乘法运算 3.4 二进制除法运算 3.5 浮点数的运算方法 3.6 运算部件 3.7 数据校验码,返回,3.1数据的表示方法和转换,十进制系统 x=x2x1x0.x-1x-2x-3 x=xi10i ， xi=(0,9) 二进制系统 x=xi2i， xi=(0,1) 二-十进制之间的转换 二进制十进制:多项式替换法(包括八,十六十) 十进制二进制:基数乘(小数部分)除(整数部分)法(包括十八,十六) 二进制-八进制、十六进制之间的转换 查表法,十进制数的编码与运算,
2、有权码:表示一位十进制数的二进制码的每一位有确定的权。 例：8421码(简称BCD码),以二进制编码 的十进制码。 2421码,5211码,4311码等。 无权码:表示一个十进制数位的二进制码的每一位没有确定的权。 例：余3码,格雷码等。 8421码的加法修正: 相加之和大于9,或有进位时,再加6。(见例3.10) 余3码的加法修正: 不产生进位时减3;产生进位时加3。(见例3.11),十进制数的二进制编码 （Binary coded decimal),十进制数 8421码 2421码 5211码 4311码 余3码 Gray 0 0000 0000 0000 0000 0011 0000 1
3、 0001 0001 0001 0001 0100 0001 2 0010 0010 0011 0011 0101 0011 3 0011 0011 0101 0100 0110 0010 4 0100 0100 0111 0101 0111 0110 5 0101 1011 1000 0111 1000 1110 6 0110 1100 1001 1011 1001 1010 7 0111 1101 1100 1100 1010 1000 8 1000 1110 1110 1110 1011 1100 9 1001 1111 1111 1111 1100 0100,数字串在计算机内的表示与存
4、储,主要有两种形式： 字符形式:用ASCII码表示，一个字节存放一个十进制数位或符号位的ASCII码。 例：+123 用2B 31 32 33表示 -12 用2D 31 32表示 压缩的十进制数形式: 用4位二进制数表示1位十进制数，即1个字节存放2位十进制数。数值用BCD码或ASCII码的低4位表示。同样，正(+)、负(-)号也用相应的一个4位编码表示，放在最低数字位之后。例如用C表示正号，用D表示负号。并规定数字和符号位个数之和必须为偶数，否则在最高数字之前补一个0。 例：+123 用12 3C表示 -12 用01 2D表示,返回,3.2带符号的二进制数据在计算机中的表示方法及加减运算,机
5、器数：在计算机中表示的带符号的二进制数。 三种表示方式：原码、反码、补码。 计算机中定点数的表示方法： 有定点整数、定点小数两种。,小数点位置是是隐含的，并没有具体的硬件。,原码表示法,原码表示法也称为符号数值表示法， X原=符号位+|X|。 符号位用0-正数，符号位用1-负数，其余位表示数的大小。 X 0X1 1-X=1+|X| -1X 0 例:X=+0.1011 X原=01011 X=-0.1011 X原=11011 缺点： 运算（加、减法）复杂，低效 0有两个表示 +0: 00000 0: 10000,X原=,反码表示法,反码（ ones complement ）： X 0X1 2-2-
6、n+X -1X 0 即当X=0时，符号位为1，数值位取反。 特点: 1.反码的和等于和的反码。 2.有二个零：+0=0.0000 -0=1.1111 3.运算时，当最高位有进位而丢掉进位时,要在最低位加1(循环进位)。,X反=,补码表示法,补码（twos complement）： X 0X1; 2+X=2-|X| -1X0; 即X0时，符号位为1，数值位取反后再加1。 例如：X=+0.1011 X补=0.1011 X=-0.1011 X补=1.0101 数值0的补码表示形式是唯一的，即： +0补=-0补=0.0000 特点:1.补码的和等于和的补码,符号位和数值位一样参 加运算,不必单独处理,
7、即X补+Y补=X+Y补 2.补码相减: X补-Y补=X补+-Y补 Y补-Y补: 符号位连同数值位一起取反加1。,X补=,补码加法器的逻辑图,实现加减法的硬件框图,ALU：具有+1功能的累加器； 运算操作：A+B=A,累加器(ALU),+1,QF,B,整数的表示形式,设X=XnXn-1X2X1X0，其中Xn为符号位。 (1)原码 X 0X2n 2n-X=2n+|X| -2nX0 (2)反码 X 0X2n (2n+1-1)+X -2nX0 (3)补码 X 0X2n 2n+1+X=2n+1-|X| -2nX0,X原=,X反=,X补=,溢出判断,判断方法1： 两个数相加，若它们同为正数或负数(同号)，
8、则当且仅当结果的符号位变为相反时才溢出。 为溢出。 其中，fA、fB为操作数的符号位，fS为运算结果的符号位。 实现的逻辑电路见图3.2。,溢出判断,判断方法2： OVR=Cn-1Cn 其中: Cn-1表示最高数值位向符号位的进位值，Cn表示符号位的进位。(即Cn-1=Cn时，正常; Cn-1 Cn时，溢出。) 实现的逻辑电路见图3.3。 判断方法3： 采用2位符号位，则符号位00表示结果为正，11表示结果为负；01表示“上溢”，10表示“下溢”。 实现的逻辑电路见图3.4。,（d） （-7）+（-6）,1001 1010 0011,= 溢出,（c） （+5）+（+4）,0101 0100 1
9、001,= 溢出,计算机中的运算过程举例（假设机器字长4位，最高1位为符号位）：,补码的加、减法的例子,采用2位符号位的运算例子,采用多符号位的补码叫“变形补码”。 如果采用双符号位，则运算时用双符号位，存储时仅保留一个符号位。,（d） （-7）+（-6）,11001 11010 10011,= 溢出(下溢),（c） （+5）+（+4）,00101 00100 01001,= 溢出(上溢),移码,在多数通用机中，浮点数的尾数用补码表示，阶码用补码或移码表示。 移码： X移=2n +X -2nX2n 移码和补码的符号位相反,数值位相同，也就是说，把X补的符号位取反，即得X移。 移码的特点： (1
10、)最高位为符号位，1表示正，0表示负。 (2)0有唯一的移码，即 +0移=-0移=10000。,移码的加、减法,在计算机中，移码(阶码)只执行加减运算，且需要对结果进行修正。 (1)X移Y移后,符号取反才是XY移。 (2)或把Y移改成Y补, 即X+Y移= X移+Y补 ,X-Y移= X移+-Y补,（d） （-7）+（-6）,0001 1010 11011,=溢出,（c） （+5）+（+4）,1101 0100 10001,=溢出,计算机中的运算过程（假设机器字长4位，其中1位表示符号位）举例：,定点数和浮点数,在计算机中的数据有定点数和浮点数两种。 定点数：指小数点固定在某个位置上的数据，一般有
11、定点小数和定点整数两种。 浮点数：指小数点位置可浮动的数据。通常以下式表示： N=MRE 其中，N是浮点数，M为尾数，E为阶码(指数)，R为阶的基数(底)。 数的符号位在M中表示；数的大小在E中表示。,计算机中浮点数的表示,把机器字长分成两部分： 阶码部分和尾数部分，因为计算机中一旦基数B确定，对任 何浮点数据则一视同仁，因此在字长中不需要存储。 例如： 若R=2（阶码用移码表示，尾数用补码表示）,0 1 8 9 31,数符 阶符,阶码,尾数,0.11010001210100 = 0 1 0010100 11010001000000000000000 -0.11010001210100 =1
12、1 0010100 00101111000000000000000 0.110100012-10100 = 0 0 1101100 11010001000000000000000 -0.110100012 -10100 =1 0 1101100 00101111000000000000000,规格化浮点数,浮点数可以表示成多种形式： 0.11026 = 1.10 25 = 0.000110 29 为了保证数据精度、简化浮点数的操作，需要对其进行规格化，规格化后的浮点数具有下列形式： 0.1bbbbbRE 即：|M|=1/2 （R=2） 一般情况： |M|=1/R 尾数用补码表示的浮点数规格化判
13、断方法:尾数的符号位与尾数最高数值位不同,为规格化;否则为非规格化。,二进制浮点表示的IEEE 754标准,IEEE 754标准定义了32位的单精度和64位的双精度两种格式的浮点数。它们的指数段分别为8位和11位，隐含的基值是2。 标准还规定：阶码采用移码，尾数采用原码。规格化原码尾数的整数部分恒为1，在尾数中不出现，计算时自动添加上去。 在通用机器中，通常尾数用补码表示，阶码用移码表示。,IEEE 754格式参数,参数 单精度 双精度 字宽(位数) 32 64 指数宽(位数) 8 11 指数偏移 127 1023 最大指数 127 1023 最小指数 -126 -1022 数的范围 10-3
14、8,10+38 10-308,10+308 有效尾数 23 52 指数数目 254 2046 分数数目 223 252 值的数目 1.98*231 1.99*263,几点说明,指数值范围1254（单精度）和12046（双精度），表示了一个规格化的非零浮点数。指数是偏移的，故真正的指数范围为-126+127和-1022+1023； 指数全0，尾数全0，表示0； 指数全1，尾数全0，表示正无穷或负无穷； 指数全1与非0尾数一起给出NaN（not a number)-非数。,定点数的表数范围,一个字长为32位的定点整数机器，最高位为符号位，机器中的数采用补码表示形式，则该机器所能表示的数的范围如下：,如为32位定点小数，则：,浮点数的表数范围,32位字长的机器中，数采用浮点表示，符号位占1位，尾数位占23位，阶符占1位，阶码占7位。阶码用移码表示，尾数用补码表示，采用规格化浮点数表示形式，则其表数范围：,作业,Page 67： 4， 6，7，8，9， 10，11，14 ，15,返回,
