《湖南省、等十三校重点中学2017届高三数学第一次联考试题 理（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省、等十三校重点中学2017届高三数学第一次联考试题 理（含解析）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、湖南省2017届高三十三校联考第一次考试理科数学试卷第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合，,所以，故选D.2. 记复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则复数的模 （ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】由，得 ， ，故选A. 3. 在等差数列中，则数列的前11项和 （ ）A. 24 B. 48 C. 66 D. 132【答案】C【解析】试题分析：设等差数列公差为，则，所以有，整理得，故选C考点：等差数列的定义与性质4. 已知表示不超过实数
2、的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】 ，故 ，故选B.5. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设：“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件 ，则 ，依题意得： ，解得 ，故选C.6. 如下图，是一个算法流程图，当输入的时
3、，那么运行算法流程图输出的结果是（ ）A. 10 B. 20 C. 25 D. 35【答案】D【解析】当输入的时， ； ； ； ； ； 否，输出，故选D.7. 二项式展开式中，项的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】二项式展开式的通项为 ，令 ，系数为 ，故选C.8. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为60的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则与的比为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】抛物线的焦点 ，准线为 ， 设 ，则 ，由 则 ， 即有 .故选C.9. 已知函数的定义域为，且，又函数的导函数的图象如图
4、所示，若两个正数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由导函数图象，可知函数在 上为单调增函数 ，正数满足， 又因为表示的是可行域中的点与 的连线的斜率。所以当与 相连时斜率最大，为，当与 相连时斜率最小为，的取值范围是，故选：A.10. 已知正内接于半径为2的圆，点是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系,设.则 ， ，故选B.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起
5、到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.11. 三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，取 中点，连接，则在 中 ，在中， ，所以 ，设球心到平面ABC的距离为因为平面ABC,且底面为正三角形,所以.因为的外接圆的半径为,所以由勾股定理可得,所以三棱锥外接球的表面积是,故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是
6、几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数是定义在上的函数，所以有，不等式可变形为： ，构造函数 ， ，所以在上单增，由 ，可得 ，故选A.点睛：本题考查的是构造函数，利用条件构造，进而将不等式转化为，即，若函数在区间上单调递增，
7、则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 函数是奇函数，则等于_【答案】【解析】因为函数是奇函数，所以 ，有.14. 已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上，球的体积为，则与平面所成的角的余弦值为_【答案】【解析】过作平面，垂足为，则为正方形的中心。 正方形的边长为,， ,球的半径 . 与平面所成的角的余弦值为 .15. 双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为_【答案】【解析】设直线
8、与圆相切于点，则 ，取的中点,连接 ，由于,则 ，由，则，即有，由双曲线的定义可得，即，即，,即，即，则.故答案为：.16. 已知函数，数列中，则数列的前100项之和_【答案】10200【解析】因为，所以 同理可得： , 的前100项之和.故答案为： .点睛：本题中由条件 ，由余弦函数的值可将分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设的内角的对边分别为，且满足.（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，试求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化简整理即可证明：为直角三角形；（2
9、）利用，根据基本不等式可得：，即可求出面积的最大值.试题解析：解法1：（1），由正、余弦定理，得，化简整理得：，所以，故为直角三角形，且；（2），当且仅当时，上式等号成立，.故，即面积的最大值为.解法2（1）由已知：，又，而，故，为直角三角形.（2）由（1），.，令，.而在上单调递增，.18. 为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中第2组的频数为12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表
10、示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为.试题解析：（）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为,由条件可得:解得，又因为，故（）由（）可得：一个报考学生体重超过60公斤的概率为，所以X服从二项分布,随机变量X的分布列为：x0123p则考点：频率分布直方图，二项分布及其数学期望【易错点晴】在频率分布直方图中各组的频率是各个小矩形的面积表示，不要误认为矩形的高就是频率，同时所有矩形的面积和为，这是求解各组频率的关键，频率的求解公式是，其中是频数，是样本容量；二项分布中的概率公式是，公式中的和位置不能颠倒，否则求得的概率就是错的，最后求解数学
11、期望是可直接用二项分布的期望公式，来简化运算，提高解题速度和准确率19. 如图，三棱柱中，平面平面，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）可利用推论“若两平面垂直，一个平面上的直线垂直于两平面交线，则直线垂直于另一个平面”证明线面垂直。（2）以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角余弦值。试题解析：（1）证明：设的中点为，连.，四边形为菱形，且为正三角形，.，.而，平面，.四边形为菱形，则有，又平面平面，平面平面，平面，又，平面.（2）如图，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立
12、空间直角坐标系，.从而，有，.设面的法向量为，则，又面的法向量为，设二面角的大小为，由图知为锐角，则.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆上的点到右焦点的最小距离是，到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得？并说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：(1)根据题意可以知道且,计算得出,由此可求出椭圆的方程.(2)假设
13、存在满足题意的直线l,设l的方程为,代入,得,设,再由根与系数的关系结合题设条件能够导出不存在这样的直线.试题解析：（1）由题意可知，且，解得，椭圆的方程为.（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为，代入，得，设，则，.，且的方向向量为，当时，即存在这样的直线；当时，不存在，即不存在这样的直线.21. 已知函数.（1）当时，试求函数图像过点的切线方程；（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】试题分析：对于（1），先利用导数求出切线的斜率，再写出点斜式方程；对于（2），方程可化为：，构造，通过研究的单调性即可求出的范围.对于（3），首先根据有两个极值点，利用导数求出的取值范围以及极值点；将恒成立转化为恒成立，然后构建函数求出的最小值即可.试题解析：（1）当时，有.，过点的切线方程为：，即.（2）当时，有，其定义域为：，从而方程可化为：，令，则，由或；.在和上单调递增，在上单调递减，且，又当时，；当时，.关于的方程有唯一实数解，实数的取值范围是：或.（3）的定义域为：.令.又函数有两个极值点，有两个不等实数根，且，从而.由不等式恒成立恒成立，令，
