《工程弹性力学基础》

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1、弹性力学,李凯 13865956190 ,课程简介,教 材 工程弹性力学基础 周道祥 张伟林 编著 合肥工业大学出版社,参考书 弹性力学复习及解题指导 王俊民 同济大学出版社 弹性力学 徐芝纶 高等教育出版社 弹性力学 杨桂通 高等教育出版社 工程弹性力学 赵学仁 北京理工大学出版社 工程弹性力学 黄炎 清华大学出版社 铁木辛柯 （Timoshenko） 弹性理论 科学出版社 Carlos A.Felippa. Introduction to finite element methods. Colorado,2004,课程计划与成绩评定,第一章 绪论 第二章 平面问题的基本理论 第三章 用直角

2、坐标解平面问题 第四章 用极坐标解平面问题 第五章 有限单元法解平面问题 考核方式：平时成绩（30%）+期末考试（70%）,第一章 绪论,研究对象和任务 基本假设 基本概念 发展历史,1.1 弹性力学的内容 1.2 弹性力学的基本假设 1.3 弹性力学的基本概念 1.4 弹性力学的发展和主要解法,目 录,弹性力学，是变形体力学的一个重要组成部分。,基本任务 研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。,1.1 弹性力学的内容,材料力学研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。,弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆 件、

3、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。,结构力学在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。,三种力学体系的对比,研究采用的假设,弹力：物理问题基本假设力学模型数学模型解答。精确分析和精确结果 材力：基本假设+附加简化假设例如平截面假设、剪力分布假设等。 结构力学：附加简化假设例如分层法忽略各层框架相互影响,假设不同求解难度不同；结果的复杂程度也不同 工程应用(设计)和理论研究的思维方式不同,最后的数学问题,弹力：三维数学问题，综合分析的是偏微分方程边值问题。,材力：一维数学问题，求解的基本方程是常微分方程。,研究方法,弹力:从微分单元体入手,仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分

4、析，放弃了材力中的大部分附加假定。,材力：借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。,结果不同： 弹性力学求解微分方程得出较精确的解答； 材料力学建立的是近似理论，得到的是近似的解答；,例1：分析深度和跨度相同的直梁在横向荷载作用下的弯曲。,弹性力学与材料力学比较,按材料力学，应用平面截面假设，得出横截面上的 正应力（弯应力）,按直线分布（M(y-3h)/I）； 弹性力学分析的结果并不是按直线分布，而是按曲线变化的。,弹性力学与材料力学比较,因此，材料力学给出的最大正应力误差很大,例2：分析有孔拉伸构件净截面上的拉应力分布。,弹性力学与材料力

5、学比较,按材料力学，通常假定拉应力在净截面上均匀分布； 弹性力学分析的结果，远不是均匀分布，而是在孔的附近发生高度的应力集中，孔边的最大拉应力会比平均拉应力大出几倍。,弹性力学与材料力学比较,应用于非杆件工程结构的力学分析； 现代大型工程结构中安全性和经济性评价与分析； 弹性力学在机械、水利、土木、航空等工程学科中占有重要地位；,弹性力学的工程应用领域,建筑工程,水利工程,航空航天工程,船舶机械工程,杆、板、块体组合结构,1.1 弹性力学的内容 1.2 弹性力学的基本假设 1.3 弹性力学的基本概念 1.4 弹性力学的发展和主要解法,目 录,基本假设是学科的研究基础。 超出基本假设的研究领域是

6、固体力学其它学科的研究。,弹性力学基本假设,为什么要提出基本假定？,任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素 建立计算模型 归纳为学科的基本假定。,1.2 弹性力学的基本假设,连续性假设,均匀性假设,各向同性假设,完全弹性假设,小变形假设,无初始应力的假设,1. 连续性假设,假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。 变形后仍然保持连续性。 根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。 微观上这个假设不成立宏观假设。,2. 均匀性假设, 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 物体的弹性性质处处都是相同

7、的。 物体各个部分的物理性质不随坐标位置的变化而改变。 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，可以视为均匀材料。,3. 各向同性假设,假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。 宏观假设，材料性能各向同性。 当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。 这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。 材料力学性能参数由36个减少为2个。,4. 完全弹性假设,对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。 完全弹性分为

8、线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。 消除时间因素对变形体的影响。,假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。 弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。,5. 无初始应力假设,6. 小变形假设,假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。 忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。,弹性力学的基本假设：连续性、均匀性、各向同性、完全弹性、自然应

9、力状态和小变形假设都是关于材料变形的宏观假设。 弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。 这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。,弹性力学的基本假设,1.1 弹性力学的内容 1.2 弹性力学的基本假设 1.3 弹性力学的基本概念 1.4 弹性力学的发展和主要解法,目 录,X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m3,kN/m3, 体力分布集度,F 是坐标的连续分布函数；,F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等),X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。,一、外力: 其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。,1. 体力 ：分布在物体体积内的力，如重力

10、、惯性力等。,体力大小一般用弹性体内单位体积所受力的大小表示，称体力的集度。,2. 面力,作用于物体表面单位面积上的外力, 面力分布集度（矢量）, 面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),F 是坐标的连续分布函数；,F 的加载方式是任意的;,的正负号由坐标方向确定。,内力 物体承受外力作用，其内部各部分之间产生相互作用，即为内力。为了显示出这些内力，用一截面截开物体，并取出其中一部分：,其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。,1.内力包括力和力矩 2.内力同时与位置和截面有关,3.弹性

11、力学中，内力是应力的积分。,4. 内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。,2、应力 应力：内力的集度，即单位面积上的内力。,取截面的一部分，它的面积为A，,为物体在该截面上A点的应力,F,A,平均集度为F/A，其极限,作用于其上的内力为F，,全应力p 、正应力 、切应力 通常将全应力 p 沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为,p,正应力,剪（切）应力,与物体的变形和材料强度直接相关的是正应力和切应力。,y,x,z,正应力 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为y ,沿

12、y轴的正向为正,其下标y表示所沿坐标轴方向。,剪（切）应力 平行于单元体面的应力称为切应力，用yx 、yz表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图示的yx、yz。,yz,yx,y,（2）符号规定： 正面和负面：截面外法线与坐标轴正方向一致，则该面为正面，反之，如果截面外法线与坐标轴负方向一致，则该面为负面。,正面,正面,正面,N,N,N,应力的符号：正面上的应力沿坐标轴正向为正，沿坐标轴的负向为负；负面上的应力沿坐标轴负向为正，沿坐标轴的正向为负。即： “”“”； “”“” “”“”； “”“”,x、y、z 负面上的正的应力分量的表示如图所示。,可见：正应力

13、以拉应力为正，压应力为负，与材料力学的符号一致。,正、负面上，正的应力分量,正、负面上，负的应力分量,弹性力学,材料力学,注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。 在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。,应力分量 描述一点的应力状态，通常围绕该点取一微小的正平行六面体，其棱边分别平行于三个坐标轴。各面上的应力用沿坐标轴的分量来表示，称为应力分量。,相对平面上的应力分量在略去高阶小量的意义上大小相等，方向相反。,应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，不是一般的矢量，而是二阶张量。,（4）切应力互等定律,即xy yx

14、 ,yz zy , zx xz,证明：连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩平衡方程：,同理可得：,得：,例：平面问题中正的应力,应力与面力，在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。,例：应力与面力正方向的关系,弹力与材力相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同,材力：以拉为正,材力：顺时针向为正,例：弹力与材力中应力符号对比,已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。,应力的概念举例,3.应变,1.线应变:,过该点取三个正交微分线段研究,如图所示：,(1)应变分量,沿x方向,沿y方向,沿z方向,线应变符号规定 伸长为正缩短为负。(与正应力的正负号规定相对应

15、）,沿两个坐标轴正向之间的直角变小为正,变大为负。（与剪应力正负号规定相对应）,(1)剪应变分量,角度的变化与材料力学相同。,2、剪应变：,(2)剪应变符号规定,所以应变分量共有六个:,剪应变,例：分析如图所示微分体(PA固定)的应力应变状态。,一点应变状态,四.位移：,物体内任一点位置的移动。一般用在三个坐标中的投影表示，符号：,变形前,变形后,对比材料力学的位移：,弹性力学位移是针对点的，不存在角位移。,量纲：m 或 mm,刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变,变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。,位移形式,坐标轴正向为正,负向为负。

16、,位移的符号规定,1.1 弹性力学的内容 1.2 弹性力学的基本假设 1.3 弹性力学的基本概念 1.4 弹性力学的发展和主要解法,目 录,1、发展初期（约于16601820） 这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。 1678年，胡克（R.Hooke）通过实验发现胡克定律； 伯努利（1705年）和库仑（1776年）研究了梁的弯曲理论。 1807年，杨通过实验提出和测定了材料的弹性模量；,1.4 弹性力学的发展和主要解法,弹性力学的发展大致可分为四个时期：,2、理论基础的建立（约于18211855年） 这个时期建立了线性弹性力学的基本理论，并对材料性质进行了深入研究。 1820年，纳维建立了各向同性弹性