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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,高等数学A,3.3 定积分的应用,第3章 一元函数积分学,3.3.2 体积(2) 3.3.3 平面曲线的弧长 3.3.4 定积分的物理应用,3.3 定积分的应用,3.3.2 立体体积,平行截面面积为已知的立体的体积,3.3.3 平面曲线弧长,直角坐标情形,参数方程情形,极坐标情形,计算曲线弧长习例3-7,计算立体体积习例1-2,3.3.4 物理应用,变力沿直线做功,变力做功习例8-12,液体压力,液体压力习例13-14,万有引力,万有引力习例15,函数的平均值与均方根,函数平均值习例16,内容小结,定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个
2、立体，我们知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,一、立体体积,注意:,若立体垂直于 y 轴的截面面积为B(y), 则,计算立体体积习例,例1,例2,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,例1,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,例2,二、平面曲线弧长,弧长元素,弧长,1. 直角坐标情形,曲线弧为,弧长,2. 参数方程情形,曲线弧为,弧长,3. 极坐标情形,计算曲线弧长习例,例3,例4,例5,例6,例7,解,所求弧长为,例3,解,例4,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,例5,解,例6,解,例7,
3、变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、 克服阻力作功、万有引力作功、 弹力作功等.,三、变力沿直线所作的功,解题思路：,(1) 适当选取坐标系及积分变量；,(2) 写出功元素 dw 的表达式；,(以不变代变，其中用了公式,(3) 列出定积分并求值即得 w .,变力做功习例,例10 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问 作多少功？ (2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？,例11 半径为R，比重为(大于1)的球沉入深为H(2R)的 水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？,例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1
4、厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？,解,功元素,所求功为,解,建立坐标系如图,例9 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满 了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),例10 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出， 问作多少功？ (2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？,解,(1)如图所示建立坐标系，,则边界曲线方程为,选 x 为积分变量，,这一薄层水的重力为,(2)如图所示建立坐标系，,则边界曲线方程为,选 y 为积分变量，,这一薄层水的重力为,注意：,也可建立另一如图所示的坐标系，,则边界曲线方程为,选
5、 x 为积分变量，,这一薄层水的重力为,例11 半径为R，比重为(大于1)的球沉入深为H(2R)的 水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？,解,如图所示建立坐标系，,则边界曲线方程为,选 x 为积分变量，,将其取出水面总行程为H ,在水中行程为H2Rx ,在水外行程为H (H2Rx) 2R x,在水中作功的力为,在水外作功的力为,此时功元素为两部分 之和(水中与水外),解,设木板对铁钉的阻力为,例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？,第一次锤击时所作的功为,
6、设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,依题意知，每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,四、液体压力,解题思路：,(1) 适当选取坐标系及积分变量；,(2) 写出液体压力元素 dF 的表达式；,(以不变代变，其中用了公式,(3) 列出定积分并求值即得 F .,液体压力习例,解,在端面建立坐标系如图,解,建立坐标系如图,斜边方程为,积分变量为,小面积,五、万有引力,解题思路：,(1) 适当选取坐标系及积分变量；,(2) 写出引力元素 dF 的表达式；,(以不变代变，其中用了公式,(3) 列出定积分并求值即得 F .,解,建立坐标系如图,将典型小段近似看成质点,小段的
7、质量为,万有引力习例,小段与质点的距离为,引力元素,水平方向的分力元素,铅直方向的分力元素,六、函数的平均值与均方根,1. 平均值,实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌.,算术平均值公式,只适用于有限个数值,问题：求气温在一昼夜间的平均温度.,入手点：连续函数 在区间 上的平均值.,讨论思想：分割、求和、取极限.,(1)分割：,每个小区间的长度,设各分点处的函数值为,函数 在区间 上的平均值近似为,每个小区间的长度趋于零.,(2)求和：,(3)取极限：,函数 在区间 上的平均值为,几何平均值公式,区间长度,解,设电阻为R,功率,一个周期区间,平均功率,则电路中的电压为,函数平均值习例,结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一,2. 均方根,通常交流电器上标明的功率就是平均功率.交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为有效值,按定义有,有效值计算公式的推导:,即,结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的,内容小结,1. 已知平行截面面积函数的立体体积,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,3. 功、液体压力、万有引力、平均值、均方根,
