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1、材料力学,第四章 扭 转,一、扭转的概念及 外力偶矩的计算,材料力学,对称扳手拧紧镙帽,工程中承受扭转变形的构件,扭 转,材料力学,方向盘操纵杆,材料力学,汽车传动轴,扭 转,材料力学,构件特征：等圆截面直杆圆轴。,受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,变形特征：杆各横截面绕轴线发生相对转动。,扭 转/扭转的概念及外力偶矩的计算,上述例子都可以抽象为下面的计算简图：,材料力学,作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，而是先 告诉轴的转速和传递的功率。,功率P-是单位时间内 所做的功，单位为kW,n=960r/min,材料力学,扭 转/扭转的概念及外力偶矩的计算,材料力学,注:传动轴上
2、总会有一个 主动力偶，其它是跟它 平衡的阻力偶，主动力 偶与轴的转向相同，阻 力偶与轴的转向相反。,材料力学,二、杆受扭时的内力计算,材料力学,已知圆轴受外力偶矩作 用，匀速转动。则,用截面法求内力：,扭 转/杆受扭时的内力计算,扭矩,材料力学,扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面 外法线的指向一致，为正；反之为负。,扭 转/杆受扭时的内力计算,材料力学,扭 转/杆受扭时的内力计算,截面2-2上的内力：,材料力学,（+）,扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。,（-）,扭矩图,扭 转/杆受扭时的内力计算,材料力学,例题4-1 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、
3、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？,扭 转/杆受扭时的内力计算,材料力学,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,扭 转/杆受扭时的内力计算,材料力学,绘出扭矩图：,扭 转/杆受扭时的内力计算,材料力学,（-）,扭矩Mx-图,（+）,（在CA段和AD段）,扭 转/杆受扭时的内力计算,材料力学,将A、D轮的位置更换，则,扭矩Mx-图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,扭 转/杆受扭时的内力计算,材料力学,三、圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,1、实验观察,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,横
4、截面上存在剪应力, 不存在正应力.,刚性平面截面假设 圆轴的横截面变形后保持为平 面，圆轴上端截面上所绘的径 向线保持直线。,即轴横截面象刚性圆盘 一样绕轴线作相对转动。,材料力学,圆轴,许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆 管扭转时截面的相对扭转角相同。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,横截面上的剪应力处处垂直于径向， 且方向同 旋转方向。,横截面上各点 剪应力的方向。,材料力学,要知道圆轴扭转时，其横截面上剪应力的分布规律， 由于横截面上有无穷多个点，而我们现在只知道其 分布内力的合成结果，只通过静力学的知识无法解 出，是一个超静定问题，必须从三方面考虑。,Torsion,Mechanic
5、s of Materials,材料力学,3、理论分析,(1)几何分析,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,(2)物理条件剪切胡克定律,材料力学,同理,式中 表示扭转角 沿轴长的变化率称为单位 扭转角，在同一截面上， =常数。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,(2)物理条件剪切胡克定律,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,(3)静力平衡条件,(单位扭转角,单位：rad/m),称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、 尺寸有关。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,在扭矩相同的条件下，,因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。,（横截面上剪应 力的计算公式。）
6、,式中 称为抗扭截面模量。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,(4)公式中几何量 与 的计算。,a、实心圆截面,因此,而,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,b、空心圆截面,D,式中,而,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,四、圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,受扭圆轴破坏的标志：,塑性材料：首先发生屈服，最后沿横截面被剪断。,脆性材料：变形很小，在与轴线约成45的面上断裂。,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,（一）强度条件,圆轴的强度条件为,式中,（u为扭转极限应力, n为安全系数）,材料力学,（二）刚度条件,或,的数值按照对机器的要求决定：,精密机器的轴：,一般传动轴
7、：,精度要求不高的轴：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,解：,由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：,轴的最大剪应力,例题4-2 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm, 壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。 已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相 当，则实心轴的直径 为？,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,所以此轴安全。,若此轴改为实心轴，而,式中,解得：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,实心轴的横截面面积为,空心轴的横截面面积,空心轴与实心轴的重量之比：,因此在承载能力相同的条件下
8、，使用空心轴比较节 约材料、比较经济。,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为,根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴 心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料 分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比 较大，强度和刚度均可提高；,通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。,对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,例题4-3 图示等截面圆轴，已知d=
9、90mm ,l=50cm, , 。轴的材料为钢，G=80GPa,求 （1）轴的最大剪应力； （2）截面B和截面C的扭转角； （3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d应为多大？,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,（+）,（-）,扭矩图,解：,(1)轴的最大剪应力,作扭矩图：,因此,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,（2）扭转角,截面B：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,截面C,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,（3）BC段孔径d,由,得,解得：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,例题3-4 图示圆截面杆AB左端固定
10、，承受一集度为t的 均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。,解：,取微段作为研究对象。,根据平衡条件求得横截面上的扭 矩为：,微段两端截面的相对扭转角为,A,B,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,因此,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,五、圆轴扭转时斜截面上的应力,材料力学,材料力学,n,扭 转/圆轴扭转时斜截面上的应力,a,材料力学,斜截面上的正应力和剪应力为:,1、,讨论：,2、,3、,4、,扭 转/圆轴扭转时斜截面上的应力,材料力学,对于脆性材料, 抗拉能力很差,所以在拉应力最大的倾角为45及135的斜截面上被拉断。,对于塑性材料,抗剪能力比抗拉能力差,所以在
11、剪应力最大的横截面上被剪断。,材料力学,六、扭转的静不定问题,材料力学,例题3-5 一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。已知AC段为实心轴，直径D=10cm，BC段为空心轴，壁厚t=0.5cm，要求：1）作扭矩图；2）若材料的=100MPa，试校核强度。,扭 转/扭转的静不定问题,材料力学,例题3-6 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？,解：,（1）静力学关系,（2）变形协调条件,扭 转/扭转的静不定问题,材料力学,（3）物理关
12、系：,代入变形协调方程，得补充方程,（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得,扭 转/扭转的静不定问题,材料力学,（5）最大剪应力,杆1：,管2：,扭 转/扭转的静不定问题,材料力学,静不定问题的解法：,（1）建立静力平衡方程；,（2）由变形协调条件建立变形协调方程；,（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系： ， 代入变形协调方程，得到补充方程；,（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反 力偶或扭矩。,材料力学,七、圆轴扭转变形能,材料力学,圆截面杆的变形能,式中 Mx圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。,扭 转/圆轴扭转变形能,材料力学,受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量),整个杆的扭转变形能为,可取微段分析：,扭 转/圆轴扭转变形能,
