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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划初中因式分解题型总结初中阶段因式分解的常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式am?bm?cm?m(a?b?c),其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用a?b22?(a?b)(a?b),2a23?2ab?b3?(a?b),222a?b?(a?b)(a?ab?b)写出结果三、分组分解法.分组后能
2、直接提公因式例1、分解因式：am?an?bm?bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am?an)?(bm?bn)=a(m?n)?b(m?n)每组之间还有公因式！=(m?n)(a?b)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
3、第二、三项为一组。解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx)原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by)=2a(x?5y)?b(x?5y)=x(2a?b)?5y(2a?b)=(x?5y)(2a?b)=(2a?b)(x?5y)练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc2、xy?x?y?1分组后能直接运用公式22例3、分解因式：x?y?ax?ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x?y)?(ax?ay)=(x?y)(x?y)?a(x?y)=(x?y)(x?y?a)例4、分解因式：a?2ab?b?c解：原式=
4、(a?2ab?b)?c=(a?b)?c=(a?b?c)(a?b?c)注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、x?x?9y?3y4、x?y?z?2yz2222综合练习：x3?x2y?xy2?y3ax2?bx2?bx?ax?a?bx2?6xy?9y2?16a2?8a?1a2?6ab?12b?9b2?4aa4?2a3?a2?94a2x?4a2y?b2x?b2yx2?2xy?xz?yz?y2a2?2a?b2?2b?2ab?1y(y?2)?(m?1)(m?1)(a?c)(a?c)?b(b?2a)a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abca3?b3?c3?3abc四、十字相乘法.二次项系数为
5、1的二次三项式直接利用公式x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。特点：二次项系数是1；常数项是两个数的乘积；一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：x2?5x?6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。12解：x2?5x?6=x2?(2?3)x?2?3=(x?2)(x?3)12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x2?7x?6解：原式=x?(?1)?(?6)x?(?1)(?6)
6、1-1=(x?1)(x?6)+=-7222练习5、分解因式(1)x?14x?24(2)a?15a?36(3)x?4x?5222练习6、分解因式(1)x?x?2(2)y?2y?15(3)x?10x?242二次项系数不为1的二次三项式ax?bx?c条件：a?a1a2a1c1c?c1c2a2c2b?a1c2?a2c1b?a1c2?a2c1分解结果：ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)例7、分解因式：3x?11x?10分析：1-2+=-11解：3x?11x?10=(x?2)(3x?5)练习7、分解因式：5x?7x?63x?7x?210x2?17x?3?6y2?11y?10二次项系数为1的齐
7、次多项式例8、分解因式：a2?8ab?128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b8b+(-16b)=-8b解：a2?8ab?128b2=a2?8b?(?16b)a?8b?(?16b)=(a?8b)(a?16b)练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m2?6mn?8n2(3)a2?ab?6b2二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x2?7xy?6y2例10、x2y2?3xy?21-2y把xy看作一个整体-1(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x?2y)(2x?3y)解：原式=(xy?1)(xy?2)练习9、
8、分解因式：15x2?7xy?4y2a2x2?6ax?8综合练习10、8x6?7x3?112x2?11xy?15y2(x?y)2?3(x?y)?10(a?b)2?4a?4b?3x2y2?5x2y?6x2m2?4mn?4n2?3m?6n?2x2?4xy?4y2?2x?4y?35(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)24x2?4xy?6x?3y?y2?1012(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc五、主元法.例11、分解因式：x2?3xy?10y2?x?9解法一：以x为主元解：原式=x2?x(3y?1)(10292)=(x?
9、5y?2)(x?2y?1)-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)解法二：以y为主元解：原式=?10y2?y(3x?9)?=?10y2?(3x?9)y=?2(x-1)=?5-(x+2)=?(2y?x?1)(5y?x?2)5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习11、分解因式(1)x2?y2?4x?6y?5(2)x2?xy?2y2?x?7y?6(3)x2?xy?6y2?x?13y?6(4)a2?ab?6b2?5a?35b?36六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F型多项式的分解因式。条件：A?a1a2，C?c1c2，F?f1f2a1c2?a2c1
10、?B，c1f2?c2f1?E，a1f2?a2f1?D即：a1c1f1a2c2f2a1c2?a2c1?Bc1f2?c2f1?Ea1f2?a2f1?D则Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?(a1x?c1y?f1)(a2x?c2?f2)例12、分解因式x2?3xy?10y2?x?9y?2x2?xy?6y2?x?13y?6解：x2?3xy?10y2?x?9y?2应用双十字相乘法：x5y2x?12xy?5xy?3xy，5y?4y?9y，?x?2x?x原式=(x?5y?2)(x?2y?1)x2?xy?6y2?x?13y?6应用双十字相乘法：x2y3xy23xy?2xy?xy，4y?9y?13y，?2x
11、?3x?x原式=(x?2y?3)(x?3y?2)练习12、分解因式x2?xy?2y2?x?7y?66x2?7xy?3y2?xz?7yz?2z2七、换元法。例13、分解因式XXx2?(XX2?1)x?XX(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2解：设XX=a，则原式=ax2?(a2?1)x?a=(ax?1)(x?a)=(XXx?1)(x?XX)型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x2?7x?6)(x2?5x?6)?x2设x2?5x?6?A，则x2?7x?6?A?2x原式=(A?2x)A?x2=A2?2Ax?x2=(A?x)2=(x2?6x?6)2练习13
12、、分解因式(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2)(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2例14、分解因式2x4?x3?6x2?x?2观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=x2(2x2?x?6?11x?x2)=x2?2(x2?1x2)?(x?1x)?6?设x?1?t，则x2?12xx2?t?2原式=x2?x4?4x3?x2?4x?1解：原式=x2?x2?4x?1?4?1?=x2?x2?1?4?x
13、?1?1?xx2?x2?x?设x?1212x?y，则x?2?y?2x原式=x2?y2?4y?3?=x2?y?1?y?3?=x2(x?1x?1)(x?1x?3)=?x2?x?1?x2?3x?1?练习14、6x4?7x3?36x2?7x?6x4?2x3?x2?1?2(x?x2)八、添项、拆项、配方法。例15、分解因式x3?3x2?4解法1拆项。解法2添项。原式=x3?1?3x2?3原式=x3?3x2?4x?4x?4=(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1)=x(x2?3x?4)?(4x?4)=(x?1)(x2?x?1?3x?3)=x(x?1)(x?4)?4(x?1)=(x?1)(x2?4
14、x?4)=(x?1)(x2?4x?4)=(x?1)(x?2)2=(x?1)(x?2)2x9?x6?x3?3解：原式=(x9?1)?(x6?1)?(x3?1)=(x3?1)(x6?x3?1)?(x3?1)(x3?1)?(x3?1)=(x3?1)(x6?x3?1?x3?1?1)=(x?1)(x2?x?1)(x6?2x3?3)练习15、分解因式x3?9x?8(x?1)4?(x2?1)2?(x?1)4x4?7x2?1x4?x2?2ax?1?a2因式分解应用全题型总结、简便运算：15151、+、2、1632=、化简求值：2、已知(4x-2y-1)2+xy?2=0，求4x3y-4x2y2+xy3的值.、已知a?b?133,ab?100,求a2b?ab2的值、已知a?b?2，求(a?b)?8(a?b)的值、整除：5、证明3XX431999
