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1、组合恒等式排列组合常见公式基本计数原理加法原理和分类计数法加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同方法。第一类办法的方法属于集合 A1，第二类办法的方法属于集合 A2，第 n 类办法的方法属于集合 An，那么完成这件事的方法属于集合 A1UA2UUAn。分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。乘法原
2、理和分步计数法 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法。合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。4 例题【例 1】 从 1、2、3 、 20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个
3、明确的排列组合问题。设 a,b,c 成等差， 2b=a+c，可知 b 由 a,c 决定，又 2b 是偶数， a,c 同奇或同偶，即：分别从 1，3，5，19 或2，4，6，8，20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2 ）*2=90*2，因而本题为 180。【例 2】 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M 到 N 有多少种不同的走法 ?分析：对实际背景的分析可以逐层深入：（一）从 M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实
4、上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。 本题答案为：C（8,3）=56。分析分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。【例 3】在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植 A，B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求 A，B 两种作物的间隔不少于 6 垄，不同的选法共有多少种？分析：条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A 在第一垄，B 有 3 种选择；第
5、二类：A 在第二垄，B 有 2 种选择；第三类：A 在第三垄，B 有 1 种选择，同理 A、B 位置互换 ，共 12 种。【例 4】从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？（A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。（一）从 6 双中选出一双同色的手套，有 6 种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有 10 种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有 8 种方法；（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共 240 种。或分步从 6 双中选出一双同色的手套，有 C（6,1）=6 种
6、方法从剩下的 5 双手套中任选两双，有 C（5,2）=10 种方法从两双中手套中分别拿两只手套，有 C（2,1 ）C（2,1）=4 种方法。同样得出共 =240 种。【例 5】身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_ 。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有 C（6,2 ） C（4,2 ）C（2,2）=90 种。【例 6】在 11 名工人中，有 5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外 2 人能当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4
7、人当钳工，4 人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，C （2,2 ）C（5,2 ）C（ 4,4）=10 种；第二类：这两个人都去当车工，C （5,4 ）C（2,2 ）C（ 4,2）=30 种；第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工 C（5,4 ）C（4,4 ）=5 种。第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C （2,1）C （5,3 ）C（4,3）=80种；第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C（2,
8、1 ）C （5,3 ）C（4,4 ）=20 种；第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C（5,4 ）C （2,1 ）C（4,3 ）=40 种；因而共有 185 种。【例 7】现有印着 0，1 ，3，5，7，9 的六张卡片，如果允许 9 可以作 6 用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?分析：有同学认为只要把 0，1，3 ，5，7，9 的排法数乘以 2 即为所求，但实际上抽出的三个数中有 9 的话才可能用 6 替换，因而必须分类。抽出的三数含 0，含 9，有 32 种方法；抽出的三数含 0 不含 9，有 24 种方法；抽出的三数含 9 不含 0，有 72 种方法；抽出的三
9、数不含 9 也不含 0，有 24 种方法。因此共有 32+24+72+24=152 种方法。【例 8】停车场划一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?分析：把空车位看成一个元素，和 8 辆车共九个元素排列，因而共有 A（9,9）=362880 种停车方法。特殊优先特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。【例 9】六人站成一排，求甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数第一步：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、
10、一共有 A（4,2）=12 种；第二步：由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，共 A（4,4）=24 种；根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共 1224=288 种。第一类：甲在排尾，乙在排头，有 A（4,4）种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有 3A（4,4）种方法。第三类：乙在排头，甲不在排尾，有 3A（4,4）种方法。第四类：甲不在排尾也不在排头，乙不在排头也不在排尾，有 6A（4,4）种方法（排除相邻）。共 A（4,4）+3A（4,4）+3A（4,4 ）+6A（4,4）=312 种。【例 10】对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不
11、同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有 C（ 4,1）种可能；第二步：前四次有一件正品有 C（6,1 ）中可能。第三步：前四次有 A（4,4）种可能。 共有 576 种可能。捆绑与插空【例 11】8 人排成一队甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙必须相邻且与丙不相邻甲乙必须相邻，丙丁必须相邻甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑（甲乙可交换） 和 7 人排列 A（7,7）A（2， 2）甲
12、乙不相邻，A（8,8）-A（7,7 ）2。或 A（6,6）A(7,2)甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻 A（6,6）22甲乙必须相邻且与丙不相邻 A（7,7）2-A（6,6）22甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 A（6,6）22甲乙不相邻，丙丁不相邻，A（8,8）-A（7,7 ）22+A（6,6 ）22【例 12】某人射击 8 枪，命中 4 枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?分析： 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的 5 个空中选出 2 个的排列，即 A（5,2）。【例 13】 马路
13、上有编号为 l，2，3，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在 7 盏亮着的灯形成的不包含两端的 6 个空中选出 3 个空放置熄灭的灯。 共C（6,3 ）=20 种方法。方法二：把其中的 3 只灯关掉总情况有 C（8，3)种关掉相邻的三只有 C（6 ，1)种关掉相邻的两只有 2*C（7，2)-12 种所以满足条件的关灯方法有:C（8，3)-C （6，1)-2*C（7，2)-12=56-6-(42-12
14、)=20 种间接计数法排除法【例 14】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形 ?分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数， 共 76 种。【例 15】正方体 8 个顶点中取出 4 个，可组成多少个四面体?分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 共 C（8,4）-12=70-12=58 个。【例 16】1，2，3 ，9 中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?分析：由于底数不能为 1。当 1 选上时，1 必为真数， 有一种情况。当不选 1 时，从 2-9 中任取两个分别作
15、为底数，真数，共 A（8,2 ）=56，其中log2 为底 4=log3 为底 9，log4 为底 2=log9 为底 3,log2 为底 3=log4 为底 9,log3 为底2=log9 为底 4.因而一共有 56-4+1=53 个。【例 17】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有 A(6，6)/2=360 种。（二）先考虑六人全排列 A(6,6)种；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了 A(3,3)种，
16、有 A(6，6)/A(3,3)=120 种。【例 18】5 男 4 女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?分析：首先不考虑男生的站位要求，共 A（9,9）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了 A(5,5)次。因而有 A(9,9,)/A(5,5,)=9876=3024 种若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有 3024 种，综上，有6048 种。【例 19】 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?分析：先认为三个红球互不相同，共 A（5,5）=120 种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共 A（3,3）=6 变化，因而共 A（5,5）/A（3,3 ）=20 种。公式
