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1、1.1 随机事件与概率 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量的数字特征 1.4 极限定理 1.5 数理统计的基本概念,第一章 概率论基础,1.1.1 随机事件,为了研究随机现象，就要对研究对象进行观测或试验，这种观测或试验统称为随机试验。,实验可以在相同条件下重复进行；,每次试验，可能出现各种不同结果;,每一次试验，实际只出现一种结果，至于实际出现哪一种结果，试验之前是无法预先知道的。,1.1 随机事件与概率,随机试验,随机试验的每个可能的结果称为样本点，记为。,全体样本点的集合称为样本空间，记为。,样本空间,称中满足一定条件的子集为随机事件，用大写字母A，B，C，表示。 若一个随机事件
2、只含有一种不可再分的的试验结果称为一个基本事件（即一个样本点所组成的集合）,在随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件.,事件就是由样本点组成的某个集合.,基本事件,复合事件,必然事件,不可能事件,随机事件,1.事件的包含,2.事件的相等,3.事件的积（交）,4.互不相容（互斥）事件,随机事件之间的关系,5.事件的和（并）,6.对立事件,7.差事件,1.交换律,2.结合律,3.分配律,4.对偶原则,随机事件的运算律,5.减法满足,1.1.2 概率,概率的公理化定义,定义 1.1 设随机试验E的样本空间，F是的子集组成的集族，满足 （1） F （2）若 F，则 F;(对逆运算封
3、闭) （3）若 F ，i=1,2, 则 F.(对可列并运算封闭) 则称F为的一个代数(事件体)，F中的集合称为事件。样本空间和代数二元体（ ,F）称为可测空间。,设随机试验E的样本空间为，对试验E的任一随机事件A，定义一个实值函数P(A),若满足：,非负性: 对于每个事件A，均有0P(A)1；,规范性: P()=1；,可列可加性：若 A1,A2,An,两两互不相 容，则有,则称P(A)为事件A的概率，称（ , F , P）为概率空间。,定义 1.2,P()=0，即不可能事件概率为0.,有限可加性：若 A1,A2, An是一 组两两互不相容的事件，则有,对任一随机事件A,有,若A包含B,有P(A
4、-B)=P(A)-P(B),对任意事件A、B,有,概率的性质,对任意事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB),若A包含B,有P(A)P(B),若AB=,有P(A+B)=P(A)+P(B),对任意3个事件A1,A2, A3,有,推论,概率的直观定义,统计概率,古典概率,几何概率,非负性：0P(A)1,规范性：P()=1,有限可加性：若 A1，A2， An是一 组两两互不相容的事件，则有,统计、古典、几何概率的性质,条件概率,设、B是随机试验E的两个随机事件， 且P(A)0,则称 为已知事件A发生条件下，事件B发生的 条件概率。,条件概率满足概率公理化定义的三条。,对每个事件A，均有 ；
5、； 若事件 ， ，两两互斥，即对于 ， ， 有 并且对于前面给出的概率性质和公式，也都适用于条件概率。 例如，对任意的事件 , ,有,设A，B为任意事件，,P(AB)=P(A)P(B|A),P(AB)=P(B)P(A|B),推广到n个事件的情况：,乘法公式,设A1,A2,An两两互不相容， 且 ,即B的发生总是与A1, A2,An之一同时发生则对于事件B,有,全概率公式,设A1,A2,An两两互不相容， 且 ,即B的发生总是与A1, A2,An之一同时发生，则在B已经发生的 条件下, Ak的条件概率为,贝叶斯公式,独立事件,定义：若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B)， 则称A、
6、B相互独立。,在相同条件下，重复n次做同一试验， 每次试验只有两个可能结果；,n次试验是相互独立的；,每次试验中P(A)=p不变。,伯努利概型,在n次伯努利概型试验中，每次试验事件A发生的概率为p(0p1)，则在n次试验中，事件A恰好发生k次的概率Pn(k)为,伯努利定理,1.2.1随机变量的定义,对于随机试验E，是其样本空间。如果对每一个样本点w,都对应着一个实数X(w)，则称上的实值函数X(w)为随机变量 ，简记为X。,1.2 随机变量及其分布,随机变量,许多随机事件都可以通过形如Xx的事件来表示:,设X是一个随机变量，称,为X的分布函数。F(x)也可记为FX(x).,1.2.2 随机变量
7、的分布函数,1-F(x),F(x2)-F(x1),P(Xx) P(x1Xx2) P(x1Xx2) P(x1Xx2),F(x)-F(x-0),F(x-0),F(x2-0)-F(x1),F(x2)-F(x1-0),已知X的分布函数为F(x)，下列各事件概率用F(x) 如何表示？,F(x+0)=F(x),1.单调不减,2.非负有界,3.右连续,分布函数的性质,定义 1.7 设xk(k=1,2,)是离散型随机变量X所取的一切可能值，pk是X取值xk的概率，则称,为离散型随机变量X的概率分布或分布律。,分布列,1.2.3 离散型随机变量,定义 1.6 如果随机变量X的全不可能取值只有有限多个或可列无穷多
8、个，则称X为离散型随机变量。,离散型随机变量,0-1分布,若随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为 P(X=1)= p，P(X=0)=1-p (0p1) 则称X服从参数为p的0-1分布。,常见离散型随机变量的分布,二项分布,若随机变量X的概率分布为,称X服从参数为n和p的二项分布，记作XB(n, p)。,泊松分布,若随机变量X的概率分布为,其中常数0,则称X服从参数为的泊松分布，记作XP().,常见离散型随机变量的分布,在独立试验序列中，若一次贝努利试验中某事件A发生的概率为P(A)=p，只要事件A不发生, 试验就不断地重复下去，直到事件A发生，试验才停止。设随机变量X为直到事件A发生为
9、止所需的试验次数，X的概率分布为,则称X服从参数为p的几何分布，记作XG(p).,几何分布,常见离散型随机变量的分布,设N个元素分为两类,有M个属于第一类,N-M个属于第二类.现在从中不重复抽取n个,其中包含的第一类元素的个数X的分布律为,其中nN,MN,l=minn,M,n,N,M均为正整数,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布，记作XH(N,M,n).,超几何分布,常见离散型随机变量的分布,设随机变量X的分布函数为F(x) ,如果存在非负函数f(x) , 使得对任意的实数x,都有,则称X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或分布密度。,连续型随机变量及其分布,
10、概率密度的性质,若随机变量X的概率密度为,则称X服从区间a,b上的均匀分布,记作XUa,b.,常见随机变量及其分布,均匀分布,若随机变量X的概率密度为,其中,0为常数,则称X服从参数为的指数分布,记作XE.,常见随机变量及其分布,指数分布,若随机变量X的概率密度为,其中和都是常数, 0，则称X服从参数为和2的正态分布.记作XN(,2),常见随机变量及其分布,正态分布,正态分布的概率密度图形,正态分布的分布函数图形,=0, =1时的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示,标准正态分布,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,二、多维随机变量及其分布,
11、二维随机变量,对于随机试验E，是其样本空间。X(w) 和Y(w)是定义在样本空间上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。,设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x, y,称二元函数 F(x,y)=P(X x,Yy) 为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。,联合分布函数,2. 0F(x,y)1,1. x1x2, F(x1,y)F(x2,y) y1y2, F(x,y1)F(x,y2),联合分布函数的性质,4. F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y),设(xk,yk)(k=1,2,)是二维随机变量(X,Y)所取的一切可能
12、值，且(X,Y)取各个可能值的概率为,则称 (X,Y)为二维离散型随机变量，上式为二维离散型随机变量 (X,Y)的联合分布律，简称分布律。,二维离散型随机变量,联合分布列,设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对任意的实数x, y,都有,则称 (X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y) 称为 (X,Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合分布密度。,二维连续型随机变量,联合概率密度的性质,均匀分布,设G为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为,其中 为区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。,常见的二
13、维连续型随机变量的分布,二维正态分布,若二维随机变量(X,Y)的分布密度为,其中10, 20, | |1, 则称 (X,Y) 服从 参数为1 ,2,1,2,的二维正态分布。记作(X,Y) N(1 ,2,12,22,),常见的二维连续型随机变量的分布,设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=P(Xx,Yy),则随机变量X的分布函数,称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。,称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。,边缘分布,设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为,则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为,(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为,边缘分布离散型,设(X,Y)为连续型随
14、机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则,分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度。,边缘分布连续型,如果二维随机变量(X,Y)满足,则称X与Y相互独立 .,连续型,对任意x,y, 有,离散型,随机变量的独立性,设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称,为在Y=yj下，随机变量X的条件分布律.,条件分布离散型,称为已知 Y=y下，X的条件概率密度函数 .,称为已知 X=x下，Y的条件概率密度函数 .,条件分布连续型,如果yk=g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,若X是离散型随机变量，
15、X的分布律为,若yk=g(xk)的值互不相等, Y=g(X)的分布律为,随机变量函数的分布,一维随机变量函数的分布离散型,若X是连续型随机变量，其概率密度为fX(x)，则求Y=g(X)的分布问题的方法是，从分布函数定义出发，通过等概率事件的转化，建立Y与X的分布函数之间的关系，得到Y的分布函数FY(y)，然后对FY(y)求导得到概率密度fY(y)。这种求解连续型随机变量函数的分布问题的方法称为分布函数法。,一维随机变量函数的分布连续型,设随机变量X的概率密度为fX(x),又设y=g(x)严格单调且可导,则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为,定理,其中,(, )是y=g(x)的值域.,设(X,Y)为离散型随机变量，,Z=g(X,Y)为一维离散型随机变量.若对于不同的(xi,yj),g (xi,yj)的值互不相同,则Z的分布律为,若对于不同的(xi,yj), g(xi,yj)有相同的值,则应取这些相同值对应的概率之和。,二维随机变量函数的分布离散型,设(X,Y)为连续型随机变量，联合概率密度为f (x,y)，,Z=g(X,Y)为一维连续型随机变量，Z的分布函数为,二维随机变量函数的分布连续型,然后将二重积分化为累次积分计算，再对 求导得到概率密度 。这也就是再次应用分布函数法解决随机变量函数的分布。,x+y=z,解:,二
