ch08 几何造型

《ch08 几何造型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ch08 几何造型（127页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1,第8章 几何造型,三维物体的表示与建模,2,第8章 几何造型,8.1 概述 8.2 基础知识 8.3 常用的实体模型 8.4 过程模型 8.5 三维形体的多边形表示 8.6 常见实体造型系统简介,3,8.1 概述,客观世界中的物体都是三维的，真实地描述和显示客观世界中的三维物体是计算机图形学研究的重要内容。 一个物体的计算机描述叫做模型，它能被计算机所懂得，并在一定的条件下（变换和投影）被转换成相应的图形在屏幕显示或在绘图机上输出；,图形是模型的一个具体可见像，是人们所看到的模型的表征。不能把两者混为一谈。 在三维空间，描述的是几何形体和几何曲面，只有在平面上，它才是人们通常所称的图形。,

2、4,8.1 概述,计算机几何造型就是用计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体(描述物体的几何信息和拓扑信息)。所以几何造型是计算机图形学中一个十分重要的研究领域。 几何造型系统的主要功能： 形体输入，即把形体从用户格式转换成计算机内部格式； 形体数据的存储和管理； 形体控制，如对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换； 形体修改，如应用集合运算、欧拉运算、有理B样条等操作实现对形体局部或整体修改； 形体分析，如形体的容差分析，物质特性分析等； 形体显示输出，如消隐、光照、颜色的控制等； 询问形体的属性及其有关参数。,5,8.1 概述,表示形体的两种模型: 数据模型：规则形体的建模方法； 用欧式

3、几何描述。 过程模型：不规则形体的建模方法； 用分形几何描述。,6,8.1 概述,数据模型 完全以数据描述。通常是欧式几何所能描述的规则物体。 例如：以顶点表示的立方体、以球心和半径表示的球。 以数据文件的形式存在。(静态) 按发展时间：线框模型、表面模型、实体模型； 本章主要介绍实体模型。,7,8.1 概述,过程模型 以一个过程和相应的控制参数描述。通常描述不规则的自然景物。(基于分形几何) 例如：用一些控制参数和一个生成规则描述的植物。 以一个数据文件和一段代码的形式存在；（动态） 包括：随机插值模型、迭代函数系统、 L系统、粒子系统、动力系统等。,8,第8章 几何造型,8.1 概述 8.

4、2 基础知识 8.3 常用的实体模型 8.4 过程模型 8.5 三维形体的多边形表示 8.6 常见实体造型系统简介,9,8.2 基础知识,1. 形 体 2. 形体表示方法 3. 正则集合运算 4. 欧拉运算,10,1. 形 体,在计算机中，形体一般定义为六层拓扑结构，首先介绍在三维空间中基本术语的定义。,11,1. 形 体,体 由封闭表面围成的有效空间称为体；一个形体Q是R3空间中非空、有界的封闭子集。其边界（记为Q）是有限个面的并集，而外壳是形体的最大边界。一个单位立方体可定义为： (x,y,z)R3|0x1,0y1,0z1 其中一个表面可表示为： (1,y,z)R3|0y1,0z1 必须注

5、意：并没有规定形体必须是一个连续的封闭集合，目的是用这样的定义来扩大几何造型的域，使得形体可以由不连续的体素，或是仅有某些相交的形体组成。,12,1. 形 体,面 R3中非空、连续、共面且封闭的子集称为面F， 其边界(记为F)是有限条线段的并集，Pt表示含有F的唯一平面。 面是形体表面的一部分，且具有方向性.,13,1. 形 体,环 由有序、有向边组成的面的封闭边界称为环。 环中任意边都不能自交； 相邻两条边共享一个端点； 环又分为内环和外环。内环是在已知面中的内孔，其边按逆时针方向。外环是已知面的最大外边界的环，其边按顺时针方向，按这种方式定义，在面上沿着边的方向前进，面的内部始终在走向的右

6、侧。,14,1. 形 体,单环为在R3中具有下列性质的共面线段e1,e2,en的集合： 两条不同线段ei,ej的交或是空集，或是一个点，该点即为两条线段的端点； 环中每个端点的度都是非负偶数，即为偶数条线段的交点。,15,1. 形 体,假设F是一个面，其中包含有单环 c0,c2,cn(n0)，且c0是外环， 则具有下列性质： F=c0c2cn； 单环ci(0in)均不相交； F是由在c0内部的点，在c1(i1)外部的点和ci(0in)边界上的点所组成。 假设Q是一形体，F(Q)= f1,f2,fm，E(Q)是形体边的集合，V(Q)是形体顶点的集合，则其面和形体之间具有下列性质： Q=fi(1i

7、m)； V(fi)V(Q)，(1im)； E(fi)E(Q)T，(1im)，其中T是形体内所有线段的集合，这些线段是V(Q)的边的并集。,16,1. 形 体,边 形体内两个相邻面的交界称为边。一条边有且仅有两个相邻面。两个端点确定一条边，这两个端点分别称为该边的起点和终点。 假设Q是一个形体，E(Q)是形体边的集合，则在Q中E(Q)为满足下列条件的所有线段的集合： 边e的两个端点属于V(Q)； 边e中没有一个内部点属于V(Q) 边e上每个点，都有两个不同的面，即存在两个面 fi， fJ Q，使得边efifj； 形体Q的边框线WF(Q)是由有序对(V(Q),E(Q)所组成。,17,1. 形 体,

8、顶点 边的端点称为顶点，顶点不能出现在边的内部，也不能孤立地位于物体内、物体外或面内，顶点又是F中两条不共线的线段的交点。 假设Q是一个形体，V(Q)是所有顶点P的集合，Pf是含面f的唯一平面，则存在3个面f1,f2,f3 Q，一点PV(Q)，使得|P|=f1f2f3=Pf1Pf2Pf3。,18,1. 形 体,体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。 半空间 集合P|F(P)0成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面，当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成

9、。显然一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。 几何信息 用来表示形体的几何性质和度量关系称为几何信息。 拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。,19,8.2 基础知识,1. 形 体 2. 形体表示方法 3. 正则集合运算 4. 欧拉运算,20,2. 形体表示方法,形体常用的3种表示方法： 线框模型、表面模型和实体模型: 线框模型 早期模型。用顶点和棱边来描述物体。 一般地，画出了形体的棱线(边)与轮廓线就能唯一地表示出来。如上图，八个顶点可以定义一个长方体，但还不足以识别它，如果定义了棱线，则无论如何放置长方体都能唯一地表示了。,21,2. 形体表示方法,线框模型 对于多面体由于

10、其轮廓线和棱线通常是一致的，所以多面体的线模型更便于识别，且简单。 对于圆柱体或球体之类的形体，只画出棱线而不画出轮廓线是不能完整地表示出这个形体的。下图是圆柱体的多种表示方法：,22,2. 形体表示方法,线框模型的优缺点: 简单，处理速度快，所占的存贮空间较少； 对于非平面多面体，如圆柱、球等形体，其轮廓线随观察方向的改变而改变，无法用一组固定的轮廓线来表示它们。线框模型与形体之间不存在一一对应关系：它仅仅通过给定的轮廓线约束所表示形体的边界面，而在轮廓线之间的地方，形体的表面可以任意变化。 没有包含全部的信息，定义的形体存在多义性； 不能计算面积、体积等物理量； 不适于真实感显示（不能处理

11、物体的侧影轮廓线，也不能生成剖切图、消隐图、明暗色彩图等）。其应用范围很有限。,23,线框图的二义性,24,2. 形体表示方法,表面模型 将形体表示成一组表面的集合。 如果把线框模型中的棱线及轮廓线包围的部分定义为面，所形成的模型便是表面模型。其数据结构是在线模型的基础上附加一些指针，有序地连接棱线。下图中表面编号表示第几个表面，表面特征是平面还是曲面。,25,2. 形体表示方法,比线框模型立体感强； 形体与其表面一一对应，表达了物体的表面形状，消除了多义性； 能够计算面积； 适合于真实感显示； 不能有效的用来表示实体； 表面模型中的所有面未必形成一个封闭的边界； 各个面的侧向没有明确定义，即

12、不知道实体位于面的哪一侧。,在面模型上打孔，内部为“空洞”,26,2. 形体表示方法,实体模型 形体为封闭表面围成的有效空间；可以简单理解为“实心”。 在表面模型的基础上增加： 一个封闭的边界； 实体在表面某一侧的定义方法。 能够计算体积、面积、重量、动量、转矩等物理量； 可以赋予材料特性；模拟物理的运动，受力变形等。,27,2. 形体表示方法,实体模型 以下是实体在表面某一侧的4种定义方法： 方法1：除了定义一个表面外，还已知实体存在于表面一侧的一点P； 方法2：以箭头指向实体存在一侧的方法； 方法3：定义表面边界线为有向边界，并设右螺旋前进的方向为实体存在的一侧； 方法4：将形体分割成几个

13、区域， 由于每一条边界线两侧的箭头方 向相反，则表明表面一侧存在实体。,28,8.2 基础知识,1. 形 体 2. 形体表示方法 3. 正则集合运算 4. 欧拉运算,29,3. 正则集合运算,形体：可定义为一个有边界子集和内部子集的封闭点集，因而执行集合运算的结果也应为有边界子集和内部子集的封闭点集，且保持形状的初始维数。 按照常规的集合运算，不能保持上述特征，如：通常的两个立方体的交集运算可能产生的结构有：,30,3. 正则集合运算,为了保持维数上的一致，引入正则点集和正则集合运算的概念。 正则点集(正则形体): 是定义在三维空间中的有界，封闭，正则，半解析的区域。 有界:集合的占有空间是有

14、限的 封闭:集合的边界元素也属于集合中的元素 半解析:由有限个解析半空间经集合运算所得的集合。 解析半空间定义为(x,y,z)|F(x,y,z)0,31,判断正则形体的方法： 假设Q是三维空间R3中一几何形体，则Q=Qb,Qi，其中Qb为Q的边界或表面，Qi为Q的内部，Qc为Q的外部。若Q的边界满足下列性质，则称形体为正则形体： Qb将Qi和Qc分割成两个不连通的子空间； 去掉Qb上的任意一点，Qi和Qc变成为连通的空间； 对于任意一点PQb，如果在P处存在切平面，则其法线矢量Np指向Qc子空间。 表面是二维流形 其上任意一点存在充分小的领域与 圆盘同构（存在连续的一一映射） 由非正则集合组成

15、的形体称为非正则形体。,3. 正则集合运算,32,3. 正则集合运算,左图均不是正则体 该图表示一个边界有悬边和悬面的集合。 该图表示一个非解析半空间的集合 该图表示一个立方体中减去一个直径与立方体边长相等的圆柱体其结果是一个非正则集合。,33,3. 正则集合运算,运算符号：*，*，-*分别表示正则并，正则交，正则差。这种集合运算称作正则集合运算。 右图中，箭头分别指向各自颜色所代表的形体的内部。则ab线段表示为AbBbsame，线段cd表示为AbBbdiff 。(角标b，i分别表示边界、内部),34,3. 正则集合运算,为什么需要正则集合运算？ 正则形体经过普通的集合运算后，可能会产生悬边、

16、悬面等低于三维的无效形体。 Requicha在引入正则形体概念的同时，还定义了正则集合运算的概念。正则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面等。,35,3. 正则集合运算,例如：已知形体A和B 则其正则运算分别为：A*B为,(AbBbsame) (AiBi) (AbBi) (BbAi),36,3. 正则集合运算,A*B,(AbBbsame) (AiBi) (Ai-B) (Bi-A),37,3. 正则集合运算,A-*B,(AbBbdiff) (Ai-B) (BbAi) (Ab-B),38,3. 正则集合运算,39,3. 正则集合运算,早期的几何造型系统只支持正则形体的造型。 正则集合运算的结果保证仍是一个正则形体，即丢弃了悬边、悬面等。这些信息在许多应用中还是有用的，不能丢弃。在实际应用中，有时希望处