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1、,数形结合思想 在初中数学教学中的应用,2014北京中考,能力与主要数学思想组块考查情况分析,2014北京中考数形结合：6、7、11、19、23、24、25 2014湖北十堰市中考数形结合：2、6、7、9、10、15、16、20、23、24、25,关于数形结合思想的考查，对全体考生的区分都比较显著，由题目数量和北京中考成绩表可看出，这部分试题得满分的人数较少，由各个组别难度的数值差异比较，对全体考生有区分，说明试题通过对数形结合的考查，能够有效地区分各个水平考生的数学素养的高低。,反复练习，不一定能保证基础知识与基本技能的落实； 不断反思，才能真正促进基本能力和思想方法的提升.,前言,学生面对
2、利用“数形结合”问题时的困惑：,1.在只有“数”的背景下， 如何灵活运用基本性质发现和解决简单问题 2.在只有“形”的条件时， 如何合理发现或构造数形结合找到问题突破口,明确哪些知识点代数可以与几何结合,清楚几何直观转化成代数的时机,研读标准，读出点什么,引导教学，突破点什么,一、“数”中思“形”,纯粹“数“的知识是指：如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等。 在初中阶段,有许多的代数题,学生总是拘泥于代数求法,结果导致不是很繁杂,就是被认为超出其范围而不能求解。在代数中若能充分联想题设与结论中的“几何背景“恰当构造图形,实施命题变更,不但能够激发学生的学习兴趣,而且往往探索出新思路
3、,找到解题的关键,优化解题方法,例1、(2014江苏徐州,第8题3分）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为3、1，若BC=2，则AC等于（ D ） A 3 B 2 C 3或5 D 2或6,数轴-载体,例2、数轴上的一动点的坐标为x，这个点到坐标分别为1,5两点的距离之和为（ ）,例2、如图：数轴上的一动点的坐标为x，这个点到坐标分别为1,5两点的距离之和为y，问: (1)随着x增大，y怎样变化？ （2）当x取什么值时，y取最小值？y的最小值是多少？ 6-2x (x5),某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费
4、用的报销比例标准如下表： 设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元 （1）直接写出x50000时，y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，问他住院医疗费用是多少元？,O,从坐标系中的一个点说起,B,C,点的坐标,线段的长,例3：如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图像与x轴交于A、B, 与y轴交于点C, CBO的正切值是2.求此二次函数的解析式.,C(0,4 ),OC=4,例4：已知：抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，联结CD，抛物线的对
5、称轴与x轴交于点E （1）求m的值； （2）求CDE的度数；,C(0,3) D(1,4),F,CF=1 DF=4-3=1,CDE=45,例5：已知：抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，联结CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E （3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由,已知线段,底,腰,一线两圆找交点,方法一,G,x,(1,4),(0,3),x,1,1,4-x,（x,4-x）,方法二,C（0 , 3）D（1 , 4）,点在函数图象上,P（ ）,-x2+2x
6、+3,x，,（0,4）,CD2=12+(4-3)2=2,PD2=(x-1)2+4-(-x2+2x+3)2,PC2=x2+3-(-x2+2x+3)2,（x,4）,点A到x轴的距离为,点A到y轴的距离为,B,C,O,高,面积,点的坐标,例6：如图,在平面直角坐标系中，RtOBC的两直角边分别在x、y轴上, 且OB=1, OC=3, 将OBC绕原点O顺时针旋转90o得到OEA. (2)点M是第三象限内抛物线上一动点,点M在何处时AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点的坐标.,(-3,0),(0,-3),(1,0),D,SAMC = SMDA+SMDC,M,面积最大,线段长度最大,例7：如图，点
7、A(m，m1)，B(m3，m1)都在反比例函数 的图象上 （1）求m、k的值； （2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线MN的函数表达式.,向左平移3个单位长度,M(3, 0),向下平移2个单位长度,N(0, 2),正方形ABCD AB=AD,例8：如图点B（3，3）在双曲线y= （x 0）上，点D在双曲线y= （x0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边 形为正方形（1）求k的值；（2）求点A的坐标,A（1,0）,例:9：如图,在平面直角坐标系中，RtOBC的两直角边分别在x、y轴上, 且OB=1,
8、 OC=3, 将OBC绕原点O顺时针旋转90o得到OEA. (1)若抛物线过点A、B、C, 求此抛物线解析式;,点的坐标,线段长度,例10、已知抛物线C1：y=a（x+1）22的顶点为A，且经过点B（2，1） （1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式； （2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求SOAC：SOAD的值,（3）如图2，若过P（4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，
9、求出直线m的解析式；若不存在，说明理由,例11在坐标系xoy中抛物线 经过点A（0,-2）B（3,4）（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A、B两点，）若直线CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围。,有序数对,点的坐标,线段长度,图形问题,数形结合,函数解析式,二、形中用数,初中阶段学到的“形”可以是点，线，面，角，三角形，四边形，圆等。“形”中用“数”是将图形信息部分或全部转化成数的信息，削弱或消除图形的推理部分，使要解决的问题转化为数量关系来讨论,。几何图形具有直观易懂的特
10、点所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦,平面几何图形,直线形,圆,基本图形,三角形,四边形,线段和角,相交线平行线,等腰,直角,等边,等腰直角,平行四边形,梯形,矩形,菱形,正方形,平面几何图形,直线形,圆,基本图形,三角形,四边形,三角形,相似变换,全等变换,平移,旋转,轴对称,关系,运动,平面几何图形,直线形,圆,基本图形,三角形,四边形,解三角形,运算,坐标系,线段、角、面积,点的运动轨迹,例13、ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF
11、，PD。 （1）求证：四边形ABEF是菱形 （2）若AB=4，AD=6，ABC=60， 求tanADP的值。,考查识图能力,例12、在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则CDE的周长是（ ）,我来构造基本图形（以圆中的基本图形为例）,几何直观与创新,掌握、运用一些基本图形解决问题,在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题、理解、记忆结果。,双垂图,一线三等角,例14：如图1，AB为半圆的直径，O为圆心， C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线， 垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E （1）求证：AC平分DAB； （2
12、）若AB=4，B为OE的中点，CFAB，垂足为点F，求CF的长； （3）如图2，连接OD交AC于点G，若 = 求sinE的值,，,掌握、运用一些基本图形解决问题,例15、在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F。 （1）依题意补全图1； （2）若PAB=20，求ADF的度数。,（3）如图2，若45PAB90，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明,考查画图能力,三条线段的平方关系 FE2+FD2=2AB2,掌握、运用一些基本图形解决问题,在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题、理解、记忆结果。,画图能力,我来画一画（以作一个角等于已知角为例）,关注多角度看问题,由角平分线想到的,怎么得到一个角的平分线？,角平分线的轴对称性,角平分线的代数结构,教师对于学生的教育必须避免一个误区： （1）只有做难题才能培养能力； （2）题目做得越多越好； （3）题见得越多越好； （4）接触的题越新越好.,1、做题：与试题对话知道关键所在 2、分题：同类题中将题目分层分类理顺 3、选题： 将题目分组,回归应用 4、编题：来自教材，来自生活经验,请批评指正！ 谢谢！,
