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1、,数形结合思想 在初中数学教学中的应用,2014北京中考,能力与主要数学思想组块考查情况分析,2014北京中考数形结合:6、7、11、19、23、24、25 2014湖北十堰市中考数形结合:2、6、7、9、10、15、16、20、23、24、25,关于数形结合思想的考查,对全体考生的区分都比较显著,由题目数量和北京中考成绩表可看出,这部分试题得满分的人数较少,由各个组别难度的数值差异比较,对全体考生有区分,说明试题通过对数形结合的考查,能够有效地区分各个水平考生的数学素养的高低。,反复练习,不一定能保证基础知识与基本技能的落实; 不断反思,才能真正促进基本能力和思想方法的提升.,前言,学生面对
2、利用“数形结合”问题时的困惑:,1.在只有“数”的背景下, 如何灵活运用基本性质发现和解决简单问题 2.在只有“形”的条件时, 如何合理发现或构造数形结合找到问题突破口,明确哪些知识点代数可以与几何结合,清楚几何直观转化成代数的时机,研读标准,读出点什么,引导教学,突破点什么,一、“数”中思“形”,纯粹“数“的知识是指:如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等。 在初中阶段,有许多的代数题,学生总是拘泥于代数求法,结果导致不是很繁杂,就是被认为超出其范围而不能求解。在代数中若能充分联想题设与结论中的“几何背景“恰当构造图形,实施命题变更,不但能够激发学生的学习兴趣,而且往往探索出新思路
3、,找到解题的关键,优化解题方法,例1、(2014江苏徐州,第8题3分)点A、B、C在同一条数轴上,其中点A、B表示的数分别为3、1,若BC=2,则AC等于( D ) A 3 B 2 C 3或5 D 2或6,数轴-载体,例2、数轴上的一动点的坐标为x,这个点到坐标分别为1,5两点的距离之和为( ),例2、如图:数轴上的一动点的坐标为x,这个点到坐标分别为1,5两点的距离之和为y,问: (1)随着x增大,y怎样变化? (2)当x取什么值时,y取最小值?y的最小值是多少? 6-2x (x5),某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力,积极完善城镇居民医疗保险制度,纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费
4、用的报销比例标准如下表: 设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元,按上述标准报销的金额为y元 (1)直接写出x50000时,y关于x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围; (2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元,问他住院医疗费用是多少元?,O,从坐标系中的一个点说起,B,C,点的坐标,线段的长,例3:如图,二次函数y=ax2+2ax+4的图像与x轴交于A、B, 与y轴交于点C, CBO的正切值是2.求此二次函数的解析式.,C(0,4 ),OC=4,例4:已知:抛物线 与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,其中点C的坐标是(0,3),顶点为点D,联结CD,抛物线的对
5、称轴与x轴交于点E (1)求m的值; (2)求CDE的度数;,C(0,3) D(1,4),F,CF=1 DF=4-3=1,CDE=45,例5:已知:抛物线 与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,其中点C的坐标是(0,3),顶点为点D,联结CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E (3)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P,使得PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由,已知线段,底,腰,一线两圆找交点,方法一,G,x,(1,4),(0,3),x,1,1,4-x,(x,4-x),方法二,C(0 , 3)D(1 , 4),点在函数图象上,P( ),-x2+2x
6、+3,x,,(0,4),CD2=12+(4-3)2=2,PD2=(x-1)2+4-(-x2+2x+3)2,PC2=x2+3-(-x2+2x+3)2,(x,4),点A到x轴的距离为,点A到y轴的距离为,B,C,O,高,面积,点的坐标,例6:如图,在平面直角坐标系中,RtOBC的两直角边分别在x、y轴上, 且OB=1, OC=3, 将OBC绕原点O顺时针旋转90o得到OEA. (2)点M是第三象限内抛物线上一动点,点M在何处时AMC的面积最大?最大面积是多少?求出此时点的坐标.,(-3,0),(0,-3),(1,0),D,SAMC = SMDA+SMDC,M,面积最大,线段长度最大,例7:如图,点
7、A(m,m1),B(m3,m1)都在反比例函数 的图象上 (1)求m、k的值; (2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点, 以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形, 试求直线MN的函数表达式.,向左平移3个单位长度,M(3, 0),向下平移2个单位长度,N(0, 2),正方形ABCD AB=AD,例8:如图点B(3,3)在双曲线y= (x 0)上,点D在双曲线y= (x0)上,点A和点C分别在x轴,y轴的正半轴上,且点A,B,C,D构成的四边 形为正方形(1)求k的值;(2)求点A的坐标,A(1,0),例:9:如图,在平面直角坐标系中,RtOBC的两直角边分别在x、y轴上, 且OB=1,
8、 OC=3, 将OBC绕原点O顺时针旋转90o得到OEA. (1)若抛物线过点A、B、C, 求此抛物线解析式;,点的坐标,线段长度,例10、已知抛物线C1:y=a(x+1)22的顶点为A,且经过点B(2,1) (1)求A点的坐标和抛物线C1的解析式; (2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点,求SOAC:SOAD的值,(3)如图2,若过P(4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动,直线m过点C和点E问:是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?若存在,
9、求出直线m的解析式;若不存在,说明理由,例11在坐标系xoy中抛物线 经过点A(0,-2)B(3,4)(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间的部分为图象G(包含A、B两点,)若直线CD与图象G有公共点,结合函数图像,求点D纵坐标t的取值范围。,有序数对,点的坐标,线段长度,图形问题,数形结合,函数解析式,二、形中用数,初中阶段学到的“形”可以是点,线,面,角,三角形,四边形,圆等。“形”中用“数”是将图形信息部分或全部转化成数的信息,削弱或消除图形的推理部分,使要解决的问题转化为数量关系来讨论,。几何图形具有直观易懂的特
10、点所以在谈到“数形结合”时,更多的老师和学生更偏好于“以形助数”,利用几何图形解决代数问题,常常会产生“出奇制胜”的效果,使人愉悦,平面几何图形,直线形,圆,基本图形,三角形,四边形,线段和角,相交线平行线,等腰,直角,等边,等腰直角,平行四边形,梯形,矩形,菱形,正方形,平面几何图形,直线形,圆,基本图形,三角形,四边形,三角形,相似变换,全等变换,平移,旋转,轴对称,关系,运动,平面几何图形,直线形,圆,基本图形,三角形,四边形,解三角形,运算,坐标系,线段、角、面积,点的运动轨迹,例13、ABCD中,AE平分BAD,交BC于点E,BF平分ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF
11、,PD。 (1)求证:四边形ABEF是菱形 (2)若AB=4,AD=6,ABC=60, 求tanADP的值。,考查识图能力,例12、在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则CDE的周长是( ),我来构造基本图形(以圆中的基本图形为例),几何直观与创新,掌握、运用一些基本图形解决问题,在教学中要有意识地强化对基本图形的运用,不断地运用这些基本图形去发现、描述问题、理解、记忆结果。,双垂图,一线三等角,例14:如图1,AB为半圆的直径,O为圆心, C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线, 垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E (1)求证:AC平分DAB; (2
12、)若AB=4,B为OE的中点,CFAB,垂足为点F,求CF的长; (3)如图2,连接OD交AC于点G,若 = 求sinE的值,,,掌握、运用一些基本图形解决问题,例15、在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE、DE,其中DE交直线AP于点F。 (1)依题意补全图1; (2)若PAB=20,求ADF的度数。,(3)如图2,若45PAB90,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明,考查画图能力,三条线段的平方关系 FE2+FD2=2AB2,掌握、运用一些基本图形解决问题,在教学中要有意识地强化对基本图形的运用,不断地运用这些基本图形去发现、描述问题、理解、记忆结果。,画图能力,我来画一画(以作一个角等于已知角为例),关注多角度看问题,由角平分线想到的,怎么得到一个角的平分线?,角平分线的轴对称性,角平分线的代数结构,教师对于学生的教育必须避免一个误区: (1)只有做难题才能培养能力; (2)题目做得越多越好; (3)题见得越多越好; (4)接触的题越新越好.,1、做题:与试题对话知道关键所在 2、分题:同类题中将题目分层分类理顺 3、选题: 将题目分组,回归应用 4、编题:来自教材,来自生活经验,请批评指正! 谢谢!,