《项Z项第3据2章厂商理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《项Z项第3据2章厂商理论（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章厂商理论一、生产函数生产函数1定义2性质3例子产出变化1边际问题边际变化边际产出产出弹性定义第种要素的平均产出弹性=产出变化的百分比 / 第种要素变化的百分比=产出弹性=其他表达式A产出弹性可写成：B产出弹性也可写成对数形式：C最后，产出弹性还可表示为边际产出与平均产出的比率，即：2规模问题规模变化所有投入同时和同比例变化叫做规模变化。为了从数学上描述规模变化，可以在生产函数中引进一个表示规模的系数，于是，所有投入的同时和同比例变化可以表示为，其中，分别表示规模扩大（不变，缩小）。规模报酬定义由于规模变化而导致的产出变化。分类规模报酬可分为不变、递增和递减三种情况。它们既可以从“局部”来
2、定义，也可以从“全局”来定义。一个关于规模报酬的局部（点处）的定义是：规模报酬不变：如果。规模报酬递增：如果。规模报酬递减：如果。同样，一个关于规模报酬的全局性定义是：规模报酬不变：如果。规模报酬递增：如果。规模报酬递减：如果。上述定义之所以是全局性的，是因为它们针对的是所有的。规模弹性定义与（局部）规模报酬及产出弹性类似的概念是“规模弹性”（或“产出的总弹性”）。其含义是：产出变化的百分比比上规模变化（亦即所有投入变化）的百分比。 在描述要素的边际变化对产出的影响时，我们提出了两个相应的概念，即边际产出和产出弹性。前者是带“单位”的，后者则是“无量纲”的。同样，在描述要素的规模变化对产出的影
3、响时，也有两个相应的概念。一个是前面已经讨论过的规模报酬，它类似于边际问题中的边际产出，是有单位的。另一个则是这里讨论的规模弹性，它类似于边际问题中的产出弹性，是无量纲的。公式其他表达式A规模弹性可以写成对数的形式：B规模弹性还可以写成与产出弹性相似的形式：（这里，是对第项的导数）规模弹性和产出弹性的关系应用：齐次生产函数及性质A齐次生产函数若生产函数具有如下性质：则称为次齐次生产函数。B齐次生产函数的性质l 对求导得：l 对求导得：l 欧拉定理l 产品分配净尽定理l 规模弹性和规模报酬的性质要素关系1等产量集用产出定义的等产量集用投入定义的等产量集2边际技术替代率设为的等产量集。全微分得：若
4、假定除第和第种投入之外，所有其他投入均保持不变，则上式简化为：解之即得：在只有两种投入要素的情况下，边际技术替代率可以表示为：3替代弹性定义（对的）替代弹性是（对的）边际技术替代率变化百分之一所引起的（对的）要素比率变化的百分比。公式平均替代弹性=要素比率变化的百分比 / 要素的边际技术替代率变化的百分比替代弹性替代弹性也可以用对数的形式来表示有：性质符号由于生产函数是严格拟凹的，故（如果生产函数是拟凹的，则有）大小例题：齐次生产函数的替代弹性例题：CES生产函数的替代弹性CES生产函数的替代弹性是一常数，且等于。例题：线性齐次生产函数成本最小化成本最小化模型成本最小化模型的解1解的存在性2解
5、的唯一性3具体求解简化的成本最小化模型根据以上讨论，我们假定成本最小化模型的解满足： 紧约束（即）； 内部解（即）。在这两个条件下，成本最小化模型可以简化为：于是可以应用拉格朗日方法。拉格朗日函数一阶条件条件 注意，包含个条件，即。由此可得到：。含义A边际产出之比等于要素价格之比边际技术替代率等于要素价格之比B（在每一要素上）支出的边际产出相等C（在每一要素上）产出的边际成本相等D是产出的边际成本。用任意一种要素来计算的产出的边际成本都相等二阶条件如果已经确定解的存在性和唯一性，以及解不在边角上，则一阶必要条件将是充分的。此时，没有必要再考虑二阶充分条件。几何说明条件需求函数1定义成本最小化问
6、题的解显然是和的函数，即。这就是所谓的“条件要素需求函数（简称条件需求函数）”。之所以称是条件需求函数，是因为它取决于某个事先给定的产出（这里的是参数）这个是任意的，但却并不一定是利润最大化的。注意，这样得到的要素需求函数不同于后面要讨论的无约束利润最大化模型中得到的要素需求函数这里，价格是参数。2性质关于的零次齐次性：关于递减：成本函数1定义将成本最小化问题的解（即条件需求函数）代入成本最小化问题的目标函数可得到最小值函数。这个最小值函数就是所谓的成本函数。于是有：和条件需求函数一样，成本函数也取决于要素价格和产出。特别是，在要素价格给定时，它随产出的变化而变化但总是保持为最小值。值得注意的
7、是，在成本最小化问题中，作为目标函数的成本并不就是成本函数。二者之间的区别在于：后者是最小化的，而前者则不是。所以，可以简单地说，成本函数是最小化的成本，是最小化的成本与投入价格和产出之间的关系。2性质关于谢菲德引理：（根据谢菲德引理直接得证）一次齐次凹关于（边际成本大于零）边际成本和平均成本1边际成本在成本函数中，是一个维向量，是一个标量，总共有个自变量，从而，成本函数总共有个一阶偏导数：和。其中，最后一个偏导数被称为“边际成本”，即有：前个偏导数在经济学中似乎没有明确的称呼，但其符号可以确定，即：2边际成本拉格朗日乘数（简化的）成本最小化问题的拉格朗日函数为：其最优解为：最小成本即成本函数
8、为：于是，根据包络定理（间接目标函数对某一变量的变化率等于拉格朗日函数它在数量上等于目标函数，因为约束等于0对该变量的变化率）有：3平均成本同样，在成本函数中，也可以得到个“平均函数”，即和，但只有最后一个才被称为“平均成本”，即有：前个平均函数在经济学中也没有明确的称呼。进一步来看，平均成本函数也有个一阶偏导数。前个为，最后一个为。可以证明：单调上升，即；先下降后上升，即是所谓的型曲线。4平均成本和边际成本的关系由平均成本的定义对求导数得：解释：边际成本等于平均成本加上一个调整因子。该因子是由于产出增加对所有生产要素造成的影响，从而导致每单位产出的成本的变化，所有这些“外部”的影响等于乘以所
9、涉及的产出。在边际成本与与平均成本的关系式中，如果令，则有。这意味着，在平均成本曲线的最低点处（此时平均成本对产量的一阶导数为零），边际成本正好等于平均成本。短期成本函数和长期成本函数严格而言，上面讨论的成本函数应当称为“长期成本函数”在成本最小化的过程中，企业的所有投入要素都是可变的。如果假定在求解成本最小化的过程中，有某些要素的数量是固定不变的，则所得到的结果就是“短期”的成本函数。1短期成本函数短期成本最小化模型为：其中，是可变要素及价格，是不变要素及价格。显而易见，该模型的解现在不仅是要素价格和产出的函数，而且也是不变要素的函数，即：相应的短期成本函数则为：其中，是可变成本，是固定成本
10、。2短期成本函数与长期成本函数的关系解释：在短期成本函数中，如果让不变要素也随产出的变化而作最优调整，则短期成本函数也就成了长期成本函数。因此，如果令为当产出数量为时使总成本最小的最优固定要素数量，并代入短期成本函数，则即得上述恒等式。这是因为，在恒等式的两边对求导可得：但是，根据定义，是当产出数量为时使总成本最小的最优固定要素数量，故对的一阶导数必等于零（必要条件），即：于是有：由上述三条性质可知，长期成本函数是短期成本函数的“包络线”根据性质，短期成本曲线总位于长期成本曲线之上；再根据性质和性质，短期成本曲线和长期成本曲线在某一点上相交且在该点上的斜率相等，故它们在该点上相切。利润最大化利
11、润最大化模型假定生产函数为，产品价格和要素价格分别为和，则（完全竞争）企业的利润最大化模型可以表示如下：（假定生产函数严格递增最优解在预算线上）（假定最优解不是边角解）利润最大化模型的解利润最大化模型的一阶条件为：二阶条件为：故当生产函数满足、时，存在唯一的最优解即要素需求。注意：一阶条件既可写为，也可写为。前者表示要素的边际产品价值等于工资，后者表示要素的边际产品等于实际工资。它们都是要素的边际收益等于边际成本的具体表现。例如，设为最大利润。如果具有规模报酬递增的性质，则将规模扩大倍后有：这意味着，不可能为最大利润。另一方面，如果具有规模报酬不变的性质，则将规模扩大倍后有：在这种情况下，如果
12、，即让规模扩大1倍以上则有。于是，最优解和最大利润也不存在；如果，则有。于是，最优解不唯一。利润最大化问题可能无解的原因是：它的目标函数是“无界”的，即可能一直增长。因此，当生产函数为规模报酬递增时，随的增加，的第一部分的增加要快于第二部分，从而二者之差会一直增加。于是，利润最大化问题无解。要素需求函数1函数2性质关于零次齐次这是因为，两个利润最大化模型、的一阶条件完全相同，从而，它们的解即要素需求函数完全相同。例如，令、，则它们的一阶条件分别为：关于递减将利润最大化问题的最优解代入一阶条件得到恒等式。两边对求导得。解之即有。关于递增由上面的恒等式两边对求导得。解之可得。产出供给函数1函数将要素需求函数代入生产函数即得到产出供给函数：它显然也是和的函数，即有：2性质关于零次齐次这是因为，当产品价格和要素价格分别为和时，利润最大化问题的最优解。于是有：关于递增利润函数1函数将利润最大化模型的最优解即要素需求函数代入目标函数即和利润函数：它显然也是和的函数，即有：注意：在利润最大化模型中，目标函数不是利润函数，故不要写成：2性质霍特林引理、关于递增关于递减关于一次齐次这是因为：关于凸（参见“附录证明凸”）短期利润函数1短期利润最大化模型2短期（可变）要素需求函数3短期产出供给函数3短期利润函数14
