必修4第二章平面向量

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1、第二章 平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移） 、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上

2、的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第 1 课时2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难

3、点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. A BCD分析：老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有

4、方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：用有向

5、线段表示；用字母 、 （黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母： ；AB向量 的大小 长度称为向量的模，记作| |. AB3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.A(起点 )B（终点）a4、零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作 0. 0 的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写区别.长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.

6、说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定 0 与任一向量平行.说明：（1）综合、 才是平行向量的完整定义；（ 2）向量 、 、 平行，记作 .6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量 与 相等，记作 ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）

7、共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例 1 书本 86 页例 1.例 2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例 3 下列命题正确的是（ ）A. 与 共线， 与 共线，则 与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一

8、平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选 C.例 4 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF

9、 的中心，分别写出图中与向量 、 、OAB相等的向量.OC变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（ ）FEDOCB,课堂练习：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上；ABCD单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为 0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解： 不正确 .共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、 在同一直线上.A

10、BC不正确 .单位向量模均相等且为 1，但方向并不确定.不正确 .零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 、正确.不正确.如图 与 共线，虽起点不同，但其终点却相同.2书本 88 页练习三、小结 ：1、 描述向量的两个指标：模和方向.2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本 88 页习题 2.1 第 3、5 题（吴春霞）第 2 课时2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题

11、的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思

12、路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从 A 到 B，再从 B 按原方向到 C，则两次的位移和： A（2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，则两次的位移和：（3）某车从 A 到 B，再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和： A（4）船速为 ，水速为 ，则两速度和： ACB二、探索研究：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连” ）

13、如图，已知向量 a、.在平面内任取一点 ，作 a， ，则向量 叫做ABCAa 与的和，记作 a，即 a ，规定： a + 0-= 0 + aC探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且| + |，则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-b| |；若 | |0 时 与 方向相同；0(内分) (外分) 0，( a)b = |a|b|cos， (ab) = |a|b|cos，a( b) = |a|b|cos，若 0，( a)b =| a|b|cos() = |a|b|(cos) = |a|b|cos， (ab) = |a|b|cos，a( b) =

14、|a| b|cos() = |a|b|(cos) = |a|b|cos.3分配律：(a + b)c = ac + bc在平面内取一点 O，作 = a， = b， = c， a + b （即 ）在 c 方向上的ABOCOB投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， c (a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + Cbc说明：（1）一般地，( ) （ ）（2） ，0 （3）有如下常用性质： ，（ ） （ ）

15、 ( ) 三、讲解范例：例 1 已知 a、b 都是非零向量，且 a + 3b 与 7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b的夹角.解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b 2代入或得：a 2 = b2设 a、b 的夹角为，则 cos = = 6021|ba例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形 ABCD 中， ， ， =DCABBACD| |2=ACDB2|2而 = ，| |2= ADBA2|2| |2 + | |2 = 2 = ACBD222| ADC例 3 四边形 ABCD 中， ， ， ， ，且 ，试