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1、,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章,一、 原函数与不定积分的概念,引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如引例中,的原函数有,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函数 .,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函
2、数在定义区间上有原函数,定理 2.,原函数都在函数族,( C 为任意常数 ) 内 .,证: 1),又知,故,它属于函数族,即,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,(P185),若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数, 不可丢 !,例如,记作,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,例1. 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 (1, 2) ,故有,因此所求曲线为,例
3、2. 质点在距地面,处以初速,力, 求它的运动规律.,解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛 ,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,故,二、 基本积分表 (P188),从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,( k 为常数),或,或,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,三、不定积分的性质,推论: 若,则,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,内容小结,1. 不
4、定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表 (见P188),2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,思考与练习,1. 证明,2. 若,(P193题7),提示:,3. 若,是,的原函数 , 则,提示: 已知,4. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,5. 求下列积分:,提示:,6. 求不定积分,解：,7. 已知,求 A , B .,解: 等式两边对 x 求导, 得,作业,P192 2 (5) , (
5、12) , (14) , (20) , (23) , (25) , (26) ; 5 ; 6,第二节,第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,注意换回原变量,例2. 求,解:,令,则,想到公式,例3. 求,想到,解:,(直接配元),例4. 求,解:,类似,例5. 求,解:, 原式 =,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例6. 求,解: 原式
6、=,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,例10. 求,解法1,解法 2,同样可证,或,(P199 例18 ),例11. 求,解: 原式 =,例12 . 求,解:,例13. 求,解:,原式 =,例14. 求,解: 原式 =,分析:,例15. 求,解: 原式,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作业
7、,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,则有换元公式,例16. 求,解: 令,则, 原式,例17. 求,解: 令,则, 原式,例18. 求,解:,令,则, 原式,令,于是,说明:,1. 被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式 ,所得结果一致 .,( 参考 P204 P205 ),或,代换外, 还可利用公式,2. 再补充两个常用双曲函数积分公式,原式,例19. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,小结:,1. 第二类换元法常
8、见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,2. 常用基本积分公式的补充 (P205 P206),7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,令,解: 原式,(P206 公式 (20) ),例20. 求,例21. 求,解:,(P206 公式 (23) ),例22. 求,解: 原式 =,(P206 公式 (22) ),例23. 求,解: 原式,(P206 公式 (22) ),例24. 求,解: 令,得,原式,例25. 求,解: 原式,令,例16,例16,思考与练习,1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?,令,令,令,2. 已知,求,解: 两边求导, 得,则,(代回原变量),P207 2
9、 (4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44),作业,第三节,备用题 1. 求下列积分:,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,分部积分法,第四章,例1. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,例
10、2. 求,解: 令,则,原式 =,例3. 求,解: 令,则, 原式,例4. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,例5. 求,解: 令, 则,原式 =,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,例6. 求,解: 令, 则,原式 =,例7. 求,解: 令,则,原式,令,例8. 求,解: 令,则, 原式 =,例9. 求,解: 令,则,得递推公式,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,
11、例10. 设,证:,证明递推公式:,说明:,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ),例4,3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .,例4,例11. 已知,的一个原函数是,求,解:,说明: 此题若先求出,再求积分反而复杂.,例12. 求,解法1 先换元后分部,令,即,则,故,解法2 直接用分部积分法,内容小结,分部积分公式,1. 使用原则 :,2. 使用经验 :,“反对幂指三” , 前 u 后,3. 题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,递
12、推公式,4. 计算格式 :,例13. 求,解:,令,则,可用表格法求 多次分部积分,例14. 求,解: 令,则,原式,原式 =,思考与练习,1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,求此积分的正确作法是用换元法 .,2. 求,提示:,得,3. 设,证:,目录 上页 下页 返回 结束,可微且其反函,数,存在, 证明,作业,P213 4 , 5 , 9 , 14 , 18 , 20 , 21 , 22 , 24,第四节,备用题.,求不定积分,解：,方法1,(先分部 , 再换元),令,则,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,第四节,
13、基本积分法 :,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,直接积分法 ;,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,(2) 用赋值法,故,(3) 混合法,原式 =,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,例2. 求,解: 已知,例1(3),例1(3),例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,提示:,变形方法同例3,并利用书 P363
14、公式20 .,例4. 求,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5. 求,解: 原式,常规法,例6. 求,解: 原式,(见P363 公式21),注意本题技巧,本题用常规方法解很繁,按常规方法解,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换 (参考下页例7),t 的有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,则,例7.
15、 求,解: 令,则,例8. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,例9. 求,解法 1,令,原式,例9. 求,解法 2,令,原式,例10. 求,解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,原式,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例11. 求,解: 令,则,原式,例12. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,例13. 求,解: 令,则,原式,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,作业,P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 24,第五节,备用题 1.,求不定积分,解：,令,则, 故,分母次数较高, 宜使用倒代换.,2.求不定积分,解：,原式 =,前式令,; 后式配元,第四节,基本积分法 :,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等
