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1、数学建模与数学实验,最短路问题,教学内容:,1图 论 的 基 本 概 念,2最 短 路 问 题 及 其 算 法,3最 短 路 的 应 用,4实验作业,1. 图 论 的 基 本 概 念,一、 图 的 概 念,1图的定义,2顶点的次数,3子图,二、 图 的 矩 阵 表 示,1 关联矩阵,2 邻接矩阵,定义,有序三元组G=(V,E, )称为一个图,如果：,图的定义,定义,定义,顶点的次数,子图,关联矩阵,注：假设图为简单图,邻接矩阵,注：假设图为简单图,2.最 短 路 问 题 及 其 算 法,一、 基 本 概 念,二、固 定 起 点 的 最 短 路,三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路,基 本
2、 概 念,固 定 起 点 的 最 短 路,最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路,假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树,因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路,算法步骤：,TO MATLAB(road1),1,2,3,4,5,6,7,8,每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路,1求距离矩阵的方法,2求路径矩阵的方法,3查找最短路路径的方法,（一）算法的基本思想,（三）算法步骤,算法的基本思想,算法原理 求距离矩阵的方法,算法原理 求路径矩阵的方法,在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R,即当k被插入任何两点间的最短路径时，
3、被记录在R(k)中，依次求 时求得 ，可由 来查找任何点对之间最短路的路径,算法原理查找最短路路径的方法,pk,p2,p1,p3,q1,q2,qm,则由点i到j的最短路的路径为：,算法步骤,TOMATLAB(road2(floyd),例如：,a=0 9 inf 3 inf;9 0 2 inf 7;inf 2 0 2 4;3 inf 2 0 inf;inf 7 4 inf 0;D,R=floyd(a),一、 可化为最短路问题的多阶段决策问题,二、 选 址 问 题,1 中心问题,2 重心问题,3.最短路问题的应用,可化为最短路问题的多阶段决策问题,选址问题-中心问题,TO MATLAB(road3
4、(floyd),S(v1)=10, S(v2)=7, S(v3)=6, S(v4)=8.5, S(v5)=7, S(v6)=7, S(v7)=8.5,S(v3)=6,故应将消防站设在v3处.,选址问题-重心问题,4.实验作业,生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率.生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会.可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便适时调整生产率，获取最大收益.,某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万
5、单位/月速度递增.若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损失费C3=0.4元.假定生产率每调整一次带有固定的调整费C1=1万元，问：工厂应如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小？,a=0 3 inf inf inf inf inf;3 0 2 inf 18 2.5 inf;. inf 2 0 6 2 inf inf;inf inf 6 0 3 inf inf;. inf 18 2 3 0 4 inf;inf 2.5 inf inf 4 0 1.5;. inf inf inf inf inf 1.5 0;D,R=floyd(a),
