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1、分块矩阵,一. 分块矩阵的运算规则,二. 分块矩阵的一些例子,矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。,在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。,1、矩阵分块的方法,例如,即,说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的分块方法，应根据需要进行选择。,2、矩阵分块一般形式,矩阵A = ( aij )mn，在行方向分s块，列方向分t块，称A为st分块矩阵，第k行l列子块Akl是mknl阶矩阵。,各子块行数,各子块列数,说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵
2、特点，依据问题需要，子块可以作元素运算。,一、分块矩阵的运算规则,设A、B是mn阶矩阵，采用相同的分块法分块将A、B分块如下：,1、分块加法,注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。,2、分块数乘,设A是mn阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义,3、分块乘法,设A是ml阶矩阵，B是ln阶矩阵，,即A的列数 = B 的行数,即A的列分块法 = B 的行分块法,分块A = ( Auv )srB = ( Bvw )rt,则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是st阶分块矩阵，满足,注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：（1）作为分块阵元素参与运算（2）作为矩阵也要满
3、足乘法条件,例1. 用分块矩阵法求AB,解：,则,又,于是,说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程更简单，计算量更少。,4、分块转置,设矩阵A = ( Aij ) 是sr 阶分块矩阵,例1的计算量比较：,直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数,用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数,合计32次,说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。,分外层、内层双重转置,特别地，对于列分块矩阵：,二、一些特殊的分块矩阵,1. 2阶分块上（下）三角形矩阵求逆,例2. 求下列2阶分块逆矩阵,其中A11， A22可逆矩阵,其中B12， B21可逆矩阵,解(1)
4、 ：设A的分块逆矩阵为,得到4个矩阵方程组,求解该方程组，得,(2) （解略，请仿(1)方法自行求解）,设A1, A2, , As均为方阵（不一定同阶），则称下面的A为分块对角矩阵,2. 分块对角矩阵,如果矩阵A1, A2, , As均可逆，则分块对角矩阵A可逆，且其逆矩阵为,说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩阵形式类似。,3. 矩阵乘积AB，A不分块，B按列分块,设矩阵A、B分别是sn 和nt 阶矩阵，A不分块，B按列分块，即,则,例3. 求解下列矩阵方程,说明：矩阵方程AX = B 可看成 t 个线性方程组Ax1 = b1, Ax2 = b2, , Axt = bt 其中B = (
5、 b1, b2, , bt )， X = ( x1, x2, , xt ),解：对增广矩阵( A, B )进行初等行变换,于是方程组Ax1 = b1有解,当且仅当= 0 时，Ax2 = b2有解,所以矩阵方程AX = B 在参数= 0 时，有解：,说明：利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵方程AX = B 的 t 个线性方程组同时进行求解。,4. 矩阵乘积AB，A按列分块，B每个元素为块,（1）设矩阵A是sn 矩阵，X 是n1矩阵：,将A按列分块，即,则,我们将表达式,称为向量,的线性组合， 称为组合系数。,说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块方式，可以得到线性方程组的向量
6、形式,说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0的列向量，则,同样记i 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量，则i A表示A的第i个行向量。,（2）设矩阵A是sn 矩阵，B 是nt 矩阵，将A按列分块，则,即AB的每个列向量，都是A的列向量的线性组合。,例4. 设A是2阶矩阵，x是2维非零列向量。若,求矩阵C，使得AB = BC。,（见教材P69例2.15）,2.4 矩阵的秩,一. 秩的概念,二. 初等变换和矩阵的秩,初等行变换，可以将矩阵A化为阶梯形矩阵。这个阶梯阵的阶梯数，是由矩阵秩唯一确定的，故引入矩阵的秩概念。,三. 矩阵的等价标准形,一. 秩的概念,在Amn中，任取
7、k行、k列(km, kn)，位于这些行列交叉处的k2个元素，按原有的位置次序所构成的k阶行列式，称为A的k阶子式。,1. k阶子式,说明(1). A共有 个k 阶子式。,例如,2阶非零子式,3阶零子式,2. 秩的定义,矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记为r(A) = r或rank(A) = r 。,说明(1). 0 r( Amn ) min m, n,说明(2). 规定零矩阵的秩为0，即 r(O ) = 0,说明(3). 对于n阶矩阵A，有,A为满秩矩阵,更一般地， 如果mn 阶矩阵A满足,r(A) = m， A为行满秩矩阵,r(A) = n， A为列满秩矩阵,例1.,解：在A中，,例2. 见教材P71例2.18,例3,解,注. 阶梯阵的秩等于其阶梯数，即非零行行数。,3. 矩阵秩的性质,（利用行列式的性质证明上述性质）,命题2.1： r(A) = r A至少存在一个r 阶非零子式，同时A所有r + 1 阶子式为零。,命题2.2： 阶梯形矩阵的秩等于它的阶梯数。,二. 初等变换和矩阵的秩,三. 矩阵的等价标准形,
