《3-1静态优化模型2pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3-1静态优化模型2pdf（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第三章 静态优化模型,3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输,2,3.3 森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量.,分析假设,问题,记队员人数x,损失费f1(x)是x的减函数,救援费f2(x)是x的增函数,存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.,综合考虑损失费和救援费，确定最佳队员数量.,火灭时刻t2,由烧毁面积B(t2)决定.,由队员人数和救火时间决定.,失火时刻t=0, 开始救火时刻t1,在时刻t森林烧毁面积为B(t).,(二者相权求平衡!),队员多，森林损失小，救援费用大
2、；,队员少，森林损失大，救援费用小.,3,关键是对烧毁面积B(t)作出合理的简化假设.,问题分析,t=0为失火时刻, t=t1为开始救火时刻（此刻过火面积增加的速度开始减缓，曲线的拐点）,直接分析B(t)比较困难,转而讨论,灭火时刻t2 （此时过火面积恒定，不复变大）,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致示意图形.,(救火!),(灭火!),(似曾相识？S型曲线!),单位时间烧毁面积 dB/dt (森林烧毁速度).,4,模型假设,3）f1(x)与B(t2)成正比，,1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，,2）t1tt2, 降为,4）每个队员的单位时间灭火费用c2,森林烧毁的速度dB/dt,(
3、救火前升!),(救火后降!),(为队员的平均灭火速度).,(损失费!),系数c1 (烧毁单位面积损失费）,(负斜率!),一次性费用c3 .,系数为 (火势蔓延速度).,-x0,5,模型建立,目标函数灭火总费用,森林烧毁速度dB/dt,(救火前升!),(救火后降!),(绝对斜率非负!),(绝对斜率!),(对边比邻边),(定积分几何意义即三角形面积!),f1(x)与B(t2)成正比，,每个队员单位时间灭火费c2, 一次费c3,(损失费),(救火费),(反解!),(移项!),(高底乘半!),6,模型建立,（关于人数x的）总费用目标函数,模型求解,求人数x使 C(x)最小,结果解释,速度比 / 是,其
4、中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数,(最小值问题),(求导得驻点!),(反解人数),为队员的平均灭火速度,系数为火势蔓延速度,火势不继续蔓延的最少人数,(自行推导!),7,3.6 消费者均衡,问题,消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族（等势线或等高线）表示，问他如何分配一定数量的钱购买这两种商品，以达到最大的满意度.,设甲乙数量为q1,q2,U(q1,q2) 效用函数,问题的数学描述：已知甲乙价格 p1, p2, 有钱s，试分配 s,购买甲乙数量 q1, q2,使效用函数 U(q1, q2)最大.,消费者的无差别曲线族记作 U(q1,q2)=c,(Utility Functi
5、on),8,模 型,已知价格 p1,p2,钱 s, 求q1,q2,或比值 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大.这是一个约束最优化问题.,几何解释,直线MN:,最优解Q: MN与 l2切点,斜率,(subject to 约束于条件),(在约束条件MN下达到目标l),9,结果解释,边际效用,消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到.,均衡方程,(最贵的就是最好的!),10,3.7 冰山运输,背景,波斯湾地区石油丰富但水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑.,专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山（穿越赤道到波斯湾），取代淡化海水.,从经济角度研究
6、冰山运输的可行性.,建模准备,1. 日租金和最大运量,(船大了贵,但装载多),(北极熊为什么不吃企鹅？),11,2. 燃料消耗（英镑/千米）,3. 融化速率（米/天）（指冰山融化深度）,建模准备,(跑得快,耗油多),(冰山大,耗油多),(跑得快,融化多),(距离远,融化多),12,建模目的,选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较.,模型假设,航行过程中船速不变，总距离9600千米.,冰山呈圆球形(可加工为各种易拖形状)，球面各点融化速率相同.,到达目的地后，每立米冰可融化0.85立米水.,建模分析,目的地水体积,运输过程融化规律,总费用,13,模型建立,1
7、. 冰山融化规律,船速u (千米/小时),简设融化速度r是 u 的线性函数，并由地理学常识可设,与南极距离d(千米),融化速度r(米/天）,d4000时r与d无关(赤道附近南北一样热). 建立分段函数,d=4000为距离 分段节点,(经验公式),(近似值),(教材说“凑”),(从南极到赤道越来越热，融化快),(分离变量形式的二元线性函数!),14,1. 冰山融化规律,船速u (千米/小时)即24u (千米/天),匀速航行 t 天,距离d =,与南极距离d(千米)融化速率r(米/天）,24ut，,d=4000为 距离节点,为时间节点,(化简!),15,总航行天数,选定u,V0,到达目的地时冰山体
8、积,冰山初始体积,冰山初始半径R0，,航行t天时半径,融化速率r(米/天）,(球形),冰山t天时体积,船速u (千米/小时),航行t天时冰山体积,为总距离除以日航速,为t=T天时冰山体积,16,2. 燃料消耗,设燃料消耗 q1(英镑/千米),由表分析数据关系(可描点绘图),选定u,V0, 航行第t天燃料消耗,T天抵达时燃料消耗总费用为加和,q1对u线性, 对log10V线性.,q (英镑/天),设,设,(求出待定系数),(近似值),(代入待定系数),(代入体积表达),(分离变量形式的二元线性函数!),17,3. 运送每立米水费用,冰山初始体积V0的日租金为 f(V0)（英镑）,T天抵达目的地时
9、总燃料消耗费用为加和,冰山运输总费用为总租金加总燃料费,拖船租金总费用,总航行天数,18,冰山到达目的地后得到的水体积,3. 运送每立米水费用,冰山运输总费用,运送每立米水费用,到达目的地时冰山体积,（1升冰化0.85升水）,为总费用除以水体积,(冰比冰水冰？),(冰比冰水大!),19,模型求解,选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低,V0只能取离散值,经验公式较粗糙,运送每立米水费用,20,结果分析,由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0).,有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.,大型拖船V0= 107 (米3)，船速 u=45(千米/小时),虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙.,冰山到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约,0.065(英镑).,淡化海水的成本0.1英镑,21,冰 山 运 输,模型来自实际问题的可行性研究.,收集数据是建模的重要准备工作.,根据数据得到的经验公式是建模的基础.,冰山形状的球形假设简化了计算, 这个假设的合理性如何?如果改变它呢?（比如更合理的圆锥形、棱台形？）,
