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1、, 7.7 圆 的 标 准 方 程,1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ; 2.已知点P（xo,yo）,直线L：Ax+By+C=0，则 点P到直线L的距离 d = 3.若A(x1,y1),B(x2,y2), 则 = ； 4.已知 ，则 的充要条件是 ； 5.平面解析几何是用 法研究几何图形的一门学科； 6.平面解析几何研究的两个主要问题是：,(x2-x1,y2-y1）,复习提纲,(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质.,坐标,如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支
2、撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m),圆的定义：,平面内与定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。,其中，定点就是圆心，定长就是半径,(1) 求曲线方程的一般步骤是 .(2) 圆是 的点的集合；（3) 推导中利用了 公式进行坐标化；（4）圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是 .(5) 圆的标准方程有哪些特点？,自学提纲,平面内到定点的距离等于定长,两点间的距离,建系设点,写出点集,列出方程,化简,证明,(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2,方程明确给出了圆心坐标和半径；,x,C,M(x,y),r,问题:试推导圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程。,是关于x、y的二元二次方程
3、；,确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。,说明： 1、明确给出了圆心坐标 和半径。,2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。,圆的标准方程,以 C（a, b）为圆心, r 为半径之圆 其标准方程为,(x-a)2+(y-b)2=r2,r,r,x2+y2=r2,(a,0),(x-a)2+y2=r2,C(a,a),(x-a)2+(y-a)2=a2,C(a,b),(x-a)2+(y-b)2=a2+b2,(1)(x-3)2+(y-4)2 =5,练习1.写出下列各圆的方程：(1)圆心在点C(3,4 )，半径是(2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3),(2)(x-8)2+(y+3)2 =25
4、,练习2. 写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)(x-1)2+y2 =6(2)(x+1)2+(y-2)2 =9(3)(x+a)2+y2 =a2,(-1,2) 3,(-a,0) |a|,例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。,C,y,x,O,M,解：因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以,因此所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2,圆心C到这条直线的距离等于半径r,根据,点到直线的距离公式,，得,思考：（1）本题关键是求出什么？,（3）怎样求出圆的半径？,（2）直线和圆的位置关系有哪几种？,用r 表示圆的半径，d 表示圆心到直线的距离，则,r,例2.
5、 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,x,O,思考,4.除了课本解法，你还能想到哪些方法？,1.圆的切线有哪些性质？,2.求切线方程的关键是什么？,3.切线的斜率一定存在吗？,例2. 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,所求的切线方程是,因为点M在圆上,所以,经过点M 的切线方程是,解:当M不在坐标轴上时，设切线的斜率为k,则k =,当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.,整理得,例2. 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,解法二：当点 M 不在坐标轴上时，,当点 M 在坐标轴上时，同解法一一样可以验证.,设切线方程为,y-y0=k(x-x0
6、),整理成一般式，利用点到直线的距离公式求k,代入所设方程即可.,例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,P(x,y),由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2,解法三：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般 步骤求解.,如图，在RtOMP中,x0x +y0 y = r2,P(x,y),例 2.已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,解法四：利用平面向量知识.,x0x +y0 y = r2,设P（x,y)是切线上不同于M的任意一点,则,当P与M重合时，P的坐标仍满足上面方程.,经过圆 上一点 的切线的方程是,x0x +y0 y = r2,x2+y2=r2 xx+y
7、y=r2 x0x+y0y=r2,例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m),解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。,答：支柱A2P2的长度约为3.86m。,例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m),y,x,思考,利用圆的几何性质，你能否用直线方程求出圆心坐标？进而写出圆的方程？,C1,1.以（3，-4
8、）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程是 .,(x-3) 2+(y+4)2=25,2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切，则b= .,练习巩固,4或-4,小结(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：x2 + y2 = r2(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。,习题7.7 P81 1(2)、2 、 4,1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。,2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程.,3.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求切线的长.,作 业,课外思考题,
