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1、提问1：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？,一、复习引入：,向量的概念；向量的基本要素；向量的表示；向量的长度；特殊的向量；相等的向量；平行向量(共线向量).,提问2：向量有哪些运算？,提问3：有哪些重要定理、公式：,平面向量基本定理； 两个向量平行的充要条件； 两个向量垂直的充要条件；,3.1.1空间向量及其运算,1、空间向量的概念：,定义： 在空间中具有大小和方向的量叫作向量. 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.,向量的表示：,二、新课讲授：,用有向线段表示,2、空间向量的运算： 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）,注：空间向量的加法、减法及
2、数乘运算是平面向量对应运算的推广,3、平行六面体：,平行四边形ABCD平移向量 a 到ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体记作ABCDABCD,它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .,例1、 已知平行六面体ABCD ，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量 .,例2 、已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：,三、课堂练习：,1、如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别是AD与BC的中点，求证：,思考： 如图设A是BCD所在平面外的一点，G是BCD的重心. 则用：,3.1.2空间向量及其运算,一、
3、预习内容： 怎样的向量叫做共线向量？ 两个向量共线的充要条件是什么？ 空间中点在直线上的充要条件是什么？ 什么叫做空间直线的向量参数表示式？ 怎样的向量叫做共面向量？ 向量p与不共线向量a、b共面的 充要条件是什么？ 空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？,1、共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量(平行向量),2、共线向量定理及其推论：,共线向量定理：空间任意两个向量 的充要条件是存在实数，使 .,二、新课知识要点：,3、向量与平面平行：,说明：空间任意的两向量都是共面的.,4、共面向量定理 ：,如果两个向量 不共线， 与 向量共面的充要条件是存
4、在实数 x,y 使,注意：共线向量定理证三点共线，共面向量定理证四点共面 .,问题：平面上一点P在直线AB上的充要条件是什么？,那么空间一点P位于平面MAB内的的充要条件是什么？,对于任一点O，总有：,评注：证明分两方面：一是存在性；二是惟一性.,5、空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x , y , z，使,若三向量 不共面，则所有空间向量所组成的集合是：,空间向量基本定理推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使,例1、已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件：试判断：点P与A
5、,B,C是否一定共面？,二、例题分析：,例2、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 （1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC/平面EG,3.1.3 两个向量的数量积,一、复习引入：,叙述空间向量基本定理.,设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使,二、知识要点：,1 、空间向量的夹角及其表示；,2、向量的模 ；,3、向量的数量积：,4、空间向量数量积的性质：,5、空间向量数量积运算律：,例1、 向量方法探究：直线和平面垂直的判定定理,求证：,三、典例分析：,说明：用向量解立体几何题的一般思路：把线段或角度向量化，并用已知向
6、量表示未知向量，然后通过向量运算来计算或证明 .,例2、已知空间四边形ABCD中，ABCD, ACBD，求证：ADBC,证明：选取一组基底，设,同理：,即：,故ADBC,例3、如图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6,AC=4，BC=5, OAC=45,OAB=60,求OA与BC的夹角的余弦值.,用空间向量解决立体几何问题时，一般可按以下程序思考： 如何把已知条件转化为向量表示，待解决问题需要用到哪些向量？可用什么向量知识解决？ 考虑一些未知的向量能否用基向量表示 如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论.,例4、如图所示，已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB,且与
7、所成角是30.如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离.,练习：,作业： 1、已知线段AB、BD在平面内，BD AB，线段AC ，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C、D间的距离. 2、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角.,3、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是D1D,DB中点，G在棱CD上， ，H为C1G的中点， （1）求证：EFB1C； （2）求EF,C1G所成角的余弦； （3）求FH的长.,空间向量及其运算小结： 1用空间向量解决立体几何问题时，一般可按以下程序思考： （1）如何把已知条件转化为向量表示，待解决问题需要用到哪些向量？可用什么向量只是解决？ （2）考虑一些未知的向量能否用基向量表示 （3）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论.,2. 向量作为沟通“数”和“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体学习者要逐步掌握向量运算的各种几何意义，才能较好的利用效率这一工具来灵活解题请注意以下的基本知识技能：,4. 试用向量方法证明不等式：,+,(a，b，c为正实数).,
