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1、哈密顿原理 科学美学的瑰旨琦意,哈密顿原理的重要性 分析力学的发展历史 最小作用量原理的含义及应用 哈密顿简历,哈密顿原理的重要性,物理学中最基本的原理是什么？哈密顿原理。 著名量子物理学家狄拉克曾十分推重这条原理。因为它具有普适性, 也就是说, 它反映了物理学各不同理论的同一性。 不论是牛顿力学、麦克斯韦电动力学、玻尔兹曼统计力学, 还是狭义相对论、广义相对论, 抑或量子力学以及一些量子场论, 它们的核心方程, 都能从哈密顿原理出发、凭借拉格朗日分析力学的方法导出：几乎所有的物理学理论都能归结于最小作用量原理, 并利用变分法这个数学工具彼此统一起来。,哈密顿原理的重要性,何以会如此？ 自然界
2、本来是和谐统一的,物质之间全都有相互作用, 从而导致物质运动状态的变化, 能量是所有物质运动状态的共性, 那末标示这共性的哈密顿函数或拉格朗日函数所满足的哈密顿正则方程或拉格朗日方程, 便是此和谐统一的象征。该方程能统一描述种种物质系统的运动规律。 藉此, 不同系统的物理运动形式所内蕴的同一性, 就得以清晰地显示。,哈密顿原理的重要性,如果认为整个物理学为科学美学提供了无数珍宝的话, 那末哈密顿原理以及拉格朗日一哈密顿理论就是这些珍宝中的一颗非常晶莹圆润的上好明珠； 尽管在若干优异理论诸如牛顿力学、相对论、量子力学等的光芒照耀下, 人们并不特别注重它。 其实, 它真可谓整个物理学的一根主心骨,
3、 所蕴含的美学意义厚实、深湛、隽永。,分析力学发展史,继牛顿力学体系之后, 拉格朗日一哈密顿的分析力学体系是经典力学发展史上的又一成功建树。 众所周知, 牛顿力学离不开牛顿本人所创建的微积分流数术, 但他的自然哲学之数学原理一书阐述其力学体系还主要利用几何的直观形式, 推理时必须用到的微积分乃采取其特殊表述的流数术。 大数学家欧拉, 将微积分表述成清晰简洁的形式, 并由以重新阐解了牛顿的质点力学, 进而还探讨、发展了刚体力学和流体力学。,分析力学发展史,数学分析的进一步完善, 则促使力学体系得以拓宽。在牛顿和欧拉之成就基础上形成的拉格朗日一哈密顿力学体系,也明确地采用纯数学分析的完善表述形式,
4、 其理论框架有所变更，此力学体系就称作分析力学。 自然哲学之数学原理于1687年问世；一百年以后, 拉格朗日出版了分析力学(1788年)。,分析力学发展史,又过了将近五十年, 哈密顿进一步扩展了拉格朗日分析力学。他添入相应于广义坐标的广义动量, 将其也作为独立变量由拉氏量L转变成哈氏量H哈密顿函数。 于是, 他就将二阶微分形式的拉格朗日方程(组)转化成个数增加一倍的一阶微分方程组，此方程形式更为简洁、对称, 被称作哈密顿正则方程。 而后, 又有所谓的哈密顿主函数的哈密顿一雅可比方程建立, 该方程对于求解能量守恒问题尤显简易。,分析力学发展史,分析力学有微分、积分两种型式。拉氏方程和哈氏正则方程
5、等属微分型式。至于积分型式, 乃从对最小作用量原理的探讨起始。 一般认为, 该原理由莫佩蒂提出, 其实对此最早作出确切表述的是欧拉,比他更早提及的可能还有莱布尼兹。 各人对该原理的陈述方式不尽相同。粗略地可陈述为：凡物质系统运动变化, 总是使其作用量S为最小或极小, 但也可以为极大, 即只要稳定取为极值便可, 亦即实际发生的运动变化对应于作用量为稳定的过程。,分析力学发展史,变分法的发明使分析力学的建立和扩展有了简便的数学工具。变分法发端于雅各布 伯努利和约翰 伯努利兄弟俩以及约翰的学生欧拉的卓越工作, 并由拉格朗日用于构建其分析力学。 变分原理使分析力学的微分型式和积分型式相互等价、易于转换
6、。作用量S之变分为零意指作用量取极值, 即可由以简捷地导出拉格朗日方程和哈密顿正则方程等。 所谓哈密顿作用量H, 就是拉氏量L对时间的积分对应于实际发生的运动, 其变分为零, 即作用量S取作极值。这就是哈密顿原理。,分析力学发展史,因此, 该原理实际是作用量S的变分原理, 这作用量S由拉氏量L确定。 变分法是普通适用的数学原理在物理学各领域, 拉氏量L和哈氏量H又是涵盖面极广的物理量。 故而, 哈密顿原理是物理学中最基本的原理, 或可称作第一性原理。 这是经典力学后牛顿发展的主要标志, 也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。 当然, 此原理还是以牛顿力学为其理论基础的。,分析力学发展史,第一
7、性原理，英文First Principle，是一个计算物理或计算化学专业名词，广义的第一性原理计算指的是一切基于量子力学原理的计算。 我们知道物质由分子组成，分子由原子组成，原子由原子核和电子组成。量子力学计算就是根据原子核和电子的相互作用原理去计算分子结构和分子能量（或离子），然后就能计算物质的各种性质。,分析力学发展史,从头算（ab initio）是狭义的第一性原理计算，它是指不使用经验参数，只用电子质量，光速，质子中子质量等少数实验数据去做量子计算。但是这个计算很慢，所以就加入一些经验参数，可以大大加快计算速度，当然也会不可避免的牺牲计算结果精度。 第一性原理就是从头计算，不需要任何参数
8、，只需要一些基本的物理常量，就可以得到体系基态的基本性质的原理。,分析力学发展史,那为什么使用“第一性原理”这个字眼呢？第一推动力是牛顿创立的，因为牛顿第一定律说明了物质在不受外力的作用下保持静止或匀速直线运动。如果宇宙诞生之初万事万物应该是静止的，后来却都在运动，是怎么动起来的呢？牛顿相信这是由于上帝推了一把，并且牛顿晚年致力于神学研究。现代科学认为宇宙起源于大爆炸，那么大爆炸也是有原因的吧。所有这些说不清的东西，都归结为宇宙“第一推动力”问题。 科学不相信上帝，我们不清楚“第一推动力”问题只是因为我们科学知识不完善。第一推动一定由某种原理决定。这个可以成为“第一原理”。爱因斯坦晚年致力于“
9、大统一场理论”研究，也是希望找到统概一切物理定律的“第一原理”，可惜，这是当时科学水平所不能及的。现在也远没有答案。,分析力学发展史,但是为什么称量子力学计算为第一性原理计算？大概是因为这种计算能够从根本上计算出来分子结构和物质的性质，这样的理论很接近于反映宇宙本质的原理，就称为第一性原理了。 广义的第一原理包括两大类，以Hartree-Fork自洽场计算为基础的abinitio从头算，和密度泛函理论（DFT）计算。也有人主张，abinitio专指从头算，而第一性原理和所谓量子化学计算特指密度泛函理论计算。,最小作用量原理的臻美旨意,物理学家考察具体的物理问题, 常常以最小作用量原理为出发点,
10、 通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。所以, 数学上的变分原理亦可谓物理学中一项可起颇大效用的方法论准则。 牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出；甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出, 尽管它是一个相当复杂的非线性方程。 其实, 所有运动方程就是拉格朗日方程或哈密顿正则方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体体现。,最小作用量原理的臻美旨意,哈氏量H乃物质系统的动能T与势能U之和, 即 H=T+U 拉氏量L乃其动能T与势能U之差, 即 L=T-U 上两式一般就保守系统、且受完整约束条件限制的场合而言。 所以说, H和L都反映了物质系统的能量状况。
11、,最小作用量原理的臻美旨意,作用量S是系统在一段时间间隔(t1 t2)里L的累积数量,即 S取极值，其变分 (S往往取极小值) 实际上, 最小作用量原理意味着, 一切物质系统的运动变化都遵循最大可能的经济原则即上文所说的往往使作用量降到最小或不很严格地说, 乃能耗最小。这符合一般的变分原理, 而变分法便是自然界里普遍成立的一条经济原则。,最小作用量原理的臻美旨意,数学家曾详细讨论过两点之间的最短连线和最速降线变分法正起源于这些数学课题。 在地面上的直立平面内,一质点在自身重量作用下, 沿某一条曲线从一点最快地降到另一点这条曲线称为速降线。 伯努利兄弟等人通过变分运算, 确定速降线呈摆线旋轮线形
12、状，见右图。,速降线呈摆线旋轮线形状,例子,最小作用量原理的臻美旨意,与此相仿佛, 费马断定光线在两种介质的交界面上折射,之所以满足折射定律如右图所示, 也是因为循着一条最速路径光程最短。,例子,最小作用量原理的臻美旨意,自由粒子在平坦空间里沿最短的直线行进, 在弯曲空间里沿弯曲的最短程线行进。这短程线满足的方程也由变分原理导出, 其方法与推导速降线的相同。,该方程与爱因斯坦引力场方程相洽, 它亦是广义相对论的一个重大结论，而如前文已提及的, 引力场方程的导出可采用引力场之作用量的变分运算。,例子,例子,最小作用量原理的臻美旨意,从光线路径和质点运动到四维弯曲时空中的短程线方程乃至引力场运动方
13、式等等实例可见, 无论是几何问题, 还是物理问题, 都可凭籍变分法去圆满地解决特别是最小作用量原理及其在物理学各领域的成功应用, 正就是利用变分法这一几何方法、亦乃经济原则去解析各物质系统之运动规律的丰盈成果。,最小作用量原理的臻美旨意,变分法作为一个简单、有效的几何方法, 具有明显的赋美价值。 作用量S等取极值, 则导致静止物体呈现平衡形态、运动物体呈现优越的变化方式。 那末, 最小作用量原理, 或曰哈密顿原理, 也就显露出生动、丰富、瑰琦的臻美旨意。 诚然, 该原理是动力学原理而静止物体取特定的形态, 亦有与其相似的缘由。,最小作用量原理的臻美旨意,例如, 小液滴总是呈圆球形张在闭合金属丝
14、架上的肥皂膜均为极小曲面其面积极小形态。此乃因为液面的表面能与其表面积成正比, 曲面不论封闭与否, 凡表面能极小以至表面积极小者才是其稳定平衡形态。 相同体积的所有立体中球面的表面积最小, 当然, 球形的对称性最高而张成不同形状的闭合围线的极小曲面可谓千姿百态, 亦都富有一定的对称性升观之颇为赏心悦目。,最小作用量原理的臻美旨意,这里选载两幅极小曲面图,由其可见一斑。静止物体的平衡态有稳定和非平稳之别,比如对于处在引力场里的物体而言, 稳定平衡态对应于引力势能极小, 非稳平衡态对应于势能极大。,四条等长直线段相互连接，界定一极小曲面,最小作用量原理的臻美旨意,最小作用量原理的臻美旨意,如图所示
15、, 小球在P1、 P2点时很稳; P3点虽也是平衡点, 但小球在此并不那么稳定。,极小值点(P1，P2)和极大值点(P3)，h超出平面的高度,最小作用量原理的臻美旨意,开普勒定律表明行星沿着椭圆轨道绕恒星运行，牛顿用他的动力学理论对此作了严密的论证。 而从哈密顿一雅可比方程出发, 同样可得出行星运行轨道一般为椭圆的结论, 并且还可导出行星运行速度增大时, 其轨道会演变成抛物线、甚或双曲线形状, 至于圆形乃椭圆形的特例。,最小作用量原理的臻美旨意,如图所示的从圆椭圆抛物线双曲线这一些圆锥曲线，正是天体运动的优美写照。,行星运行轨道,最小作用量原理的臻美旨意,牛顿力学描绘了天体运动的出色图景，拉格
16、朗日一哈密顿理论描绘此图景也毫不逊色。 当然, 在经典力学范畴里, 这两个理论体系本来是等价的，二者的臻美旨意也相仿佛。只是着眼点有所不同；对于行星运动, 牛顿着眼于行星与恒星之间的万有引力；哈密顿等人着眼于行星运行时的能量守恒。 正因为后者着眼于能量状况, 遂使哈密顿原理的适用性得以超出经典力学范畴。,最小作用量原理的臻美旨意,就是说, 在力学以外的经典物理领域, 哈密顿的作用量原理同样有效。 例如电磁场, 也可对其设定作用量, 令其变分为零, 便可导出著名的麦克斯韦方程。 与离散质点系不同,物质场是连续性系统亦有相应的连续性系统的拉格朗日方程, 对子电磁场、弓力场、流体等均适用。 再者,哈密顿原理的应用还可越出经典物理。量子力学的核心薛定鄂方程正可从哈密顿一雅可比方程过渡得出。 量子力学的三种表述形式与拉格朗日一哈密顿理论比较, 都有其直接的对应物当然, 这里除了考虑到从经典力学过渡到量子力学的对应原理外, 还须引入量子概念。,
