《李庆扬-数值分析第五版第5章习题答案(20130808)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《李庆扬-数值分析第五版第5章习题答案(20130808)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 5 章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现 的情况，这时消去法无法进行；0k kka即时主元素，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍0k kka入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行 和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般 选择列主元消去法。2、高斯消去法与 LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组 Ax = b 有何不同？A 要满足什 么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将分解为两个三角形矩阵相
2、乘的因式分解，其中一个A 为上三角矩阵 U，一个为下三角矩阵 L。 用 LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。 A 需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与 LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具 有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。 平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定 的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？
3、对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见 p53，符合 3 个运算法则。 正定性 齐次性 三角不等式设 为向量，则三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）x1 1|ni ixx1 22 2 1|()ni ixx1|max |ii nxx 7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵 A = (ai j )的三种范数| A|1，| A|2，| A|，| A|1与| A|2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见 p162，需要满足四个条件。 正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有1|A|2|A|A|从定义可知，更
4、容易计算。1|A|8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设为非奇异阵，称数 （）为矩阵 A 的条件数A1(A)AAvvvcond1,2,v 当时，方程是病态的。(A)1cond?9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？ （1）矩阵行列式的值很小。 （2）矩阵的范数小。 （3）矩阵的范数大。 （4）矩阵的条件数小。 （5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有 （1） 、 （2） 注：矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵。 矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确： （1）只要矩阵 A 非奇异，则用顺序消去法或直接 LU 分解可求得线性方程组 Ax =
5、b 的解。答：错误，主元位置可能为 0，导致无法计算结果。 （2）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。 （3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。 （4）如果 A 非奇异，则 Ax = b 的解的个数是由右端向量 b 的决定的。答：正确。解释：若 A|b 与 A 的秩相同，则 A 有唯一解。若不同，则 A 无解。 （5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。 （7）奇异矩阵的范数一定是零。答：错误， 可以不为 0。（8）如果矩阵对称，则| A|1 = | A| 。答：根据范数的定义，正确。 （9）如果线性方程组是良
6、态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为 0。 （10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也 很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。 （11）| A |1 = | AT | 。 答：根据范数的定义，正确。 （12）若 A 是 n n 的非奇异矩阵，则。)(cond)(cond1AA答：正确。A 是 n n 的非奇异矩阵，则 A 存在逆矩阵。根据条件数的定义有：1111111cond( )cond()()AAAAAAAAAA习题1、设 A 是对称阵且，经过高斯消去法一步后，A 约化为，证明是对011a 2111 0
7、AaaT2A称矩阵。证明：设对称矩阵 ，则经过 1 次高斯校区法后，有111211222212.nnnnnnaaaaaaAaaa 11121112 2212212 1111(1)11 21212 1111111211212 221221 111111 2121 1111.0.0.0.0.nn nnn nnnnnnnn nnnnaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 所以1122.T naaa1212 221221 1111211 2121 1111.nnnn nnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa 所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵，
8、经过高斯消去法一步后，A 约化为，其中，()ijnAa()ijnAa；(2) 21()ijnAa证明：（1）A 的对角元素；（2）是对称正定矩阵；0(1,2, )iiain2A（1）依次取，则因为 A 是对称正定矩阵，nixTii, 2 , 1,)0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0(所以有。0AxxaT ii（2）中的元素满足，又因为 A 是对称正定2A), 3 , 2,(,1111)2(njiaaaaaji ijij矩阵，满足，所以，njiaajiij, 2 , 1,)2(11111111)2( jiji jiji ijijaaaaaaaaaa即是对称矩阵。2A3、设为指标为的初等下
9、三角矩阵（除第列对角元以下元素外，和单位阵 相同）kLkkkLI，即1,1.111k kkn kLmm 求证当时， 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵，其中为初等置换, i jk? kijkijLI L IijI矩阵。4、试推导矩阵 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式，其中 L 为下三角矩阵，U 为单位上三角A 矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147 页。5、设 ，其中为三角矩阵。UxdU （1）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组的乘除法次数Uxd（3）设为非奇异矩阵，试推导求的计算公式U1U本题考查求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开
10、始，逐步计算 n-1,1 时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1）如果是对称正定矩阵，则也是对称正定矩阵A1A （2）如果是对称正定矩阵，则可以唯一地写成，其中是具有正对角元的AATAL LL 下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组123123123123315183156xxxxxxxxx 并求出系数矩阵 A 的行列式的值12331831111A 123315|1831151116A b 使用列主元消去法，有123315|1831151116A b 1831151233151116 183115 70153 7173106186 183115 717
11、3106186 70153 183115 7173106186 666600217 A 的行列式为-66 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解1231231231119456 1118345 1282xxxxxxxxx 本题考查 LU 分解。 解：111 456 111 345 1122A 1001103 1112L 111 456 111306090 95700540U 9、用追赶法解三对角方程组，其中bAx ，。2100012100012100012100012A00001b解：追赶法实际为 LU 分解的特殊形式。设 U
12、为、单位上三角矩阵。有（1）计算的递推公式i111/1/ 20.5cb 22221/()1/(2( 1) ( 0.5)2/3cba 33332/()1/(2( 1) ( 2/3)3/ 4cba 44443/()1/(2( 1) ( 3/ 4)4/5cba （2）解 Ly=f111/1/ 2yfb2221221()/()(0( 1) (1/ 2)/(2( 1) ( 0.5)1/3yfa yba 3332332()/()(0( 1) (1/3)/(2( 1) ( 2/3)1/ 4yfa yba 4443443()/()(0( 1) (1/ 4)/(2( 1) ( 3/ 4)1/5yfa yba 5
13、554554()/()(0( 1) (1/5)/(2( 1) ( 4/5)1/6yfa yba （3）解 UX=y551/6xy44451/5( 4/5) 1/61/3xyx 33341/ 4( 3/ 4) 1/31/ 2xyx 22231/3( 2/3) 1/ 22/3xyx 11122( 1/ 2) 2/35/6xyx 10、用改进的平方根法解方程组。 654131321112321xxx本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的 LDU 分解。见 P157。923,97,910321xxx11、下列矩阵能否分解为（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那LU 么分解是否
14、唯一。，。 764142321A 133122111B 461561552621CLU 分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的 L 矩阵（或 U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的 LDU 可分解条件也相同， 并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为 k 的矩阵的前 k 个顺序主子式 不为零，那么它就可以进行 LU 分解，但反之则不然。 解： 因为 A 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A 不能直接分解为 三角阵的乘积，但换行后可以。 因为 B 的一、二、三阶顺序主子式
