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1、【解析分类汇编系列四：北京解析分类汇编系列四：北京 2013 高三（期末）文数高三（期末）文数】：专题专题 9：圆锥曲线：圆锥曲线 一、选择题1. （北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题）已知抛物线22ypx的焦点F到其准线的距离是8，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|2 |AKAF，则AFK的面积为（ ）A32B16C8D4A由题意知8p ，所以抛物线方程为216yx，焦点(4,0)F,准线方程4x ，即( 4,0)K ,设2 (, )16yAy, 过 A 做AM垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知AMAF,所以22AKAFAM,即AMMK,所以2 ( 4)
2、16yy ，整理得216640yy，即2(8)0y，所以8y ，所以118 83222AFKSKF y ,选 A.2. （北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题）点P是抛物线24yx上一点，P到该抛物线焦点的距离为4，则点P的横坐标为（ ） A2B3C4D5B抛物线的准线为1x ，根据抛物线的对应可知，P到该抛物线焦点的距离等于P到该准线的距离，即( 1)4x ，所以3x ，即点P的横坐标为 3，选 B.3. （北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题）已知直线1:4360lxy和直线2:1lx ，抛物线24yx上一动点P到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值是
3、（ ）A3 5 5B2C11 5D3B因为抛物线的方程为24yx，所以焦点坐标(1,0)F,准线方程为1x 。所以设P到准线的距离为PB,则PBPF。P到直线1:4360lxy的距离为PA，所以PAPBPAPFFD,其中FD为焦点到直线4360xy的距离，所以22406102534FD ，所以距离之和最小值是 2，选 B.二、填空题4. （北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题）以双曲线22 1916xy的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _22(5)16xy双曲线的渐近线为4 3yx ，不妨取4 3yx，即430xy。双曲线的右焦点为(5,0)，圆心到直线430
4、xy的距离为 224 54 34d ，即圆的半径为 4，所以所求圆的标准方程为22(5)16xy。5. （北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题）过椭圆22221(0)xyabab上一点M作直线,MA MB交椭圆于,A B两点，设,MA MB的斜率分别为12,k k，若点,A B关于原点对称，且121,3kk 则此椭圆的离心率为_.6 3设1111( , ), ( ,), (,)M x yA x yBxy,则11 12 11,yyyykkxxxx，所以22 111 1222 1111 3yyyyyyk kxxxxxx ，又2222 11 22221,1xyxy abab，两式相
5、减得2222 11 220xxyy ab，即222 1 222 11 3yyb xxa ，所以223ab，即2223()aac，整理得2232ca，即22 3e ，所以离心率26 33e 。6. （北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题）已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0 ,5(1F，点 P 在双曲线上，且线段1PF的中点坐标为（0，2） ，则此双曲线的方程是 ，离心率是 .142 2yx，5由双曲线的焦点可知5c ，线段 PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F，则有2PFx，且24PF ，点 P 在双曲线右支上。所以22 1(2 5)4366PF ，所以12642
6、2PFPFa，所以2221,4abca，所以双曲线的方程为142 2yx，离心率5cea、.7. （北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题）双曲线22 133xy 的渐近线方程为_；离心率为_.;2yx 由双曲线的方程可知双曲线的焦点在x轴，223ab，所以23,6abc，即6c ，所以双曲线的渐近线为byxxa ，离心率623cea。8. （北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题）双曲线22 13645xy的渐近线方程为_；离心率为_5 2yx ，3 2； 由双曲线的标准方程可知，2236,45ab，所以281,9cc，6,3 5ab。所以双曲线的渐近线方程
7、为3 55 62byxxxa ，离心率93 62cea。三、解答题9. （北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习（二）数学（文）试题）已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为) 1, 0( B,且其右焦点到直线022 yx的距离等于 3.()求椭圆C的方程;()是否存在经过点)23, 0(Q,斜率为k的直线l,使得直线l与椭圆C交于两个不同的点NM,并且BNBM ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:()设椭圆C的方程为)0( 12222 baby ax,其右焦点的坐标为)0)(0 ,(cc. 由已知得1b.由3222 c 得2c,所以3222
8、cba 所以,椭圆C的方程为1322 yx()假设存在满足条件的直线l,设),(),(,23:2211yxNyxMkxyl, MN的中点为P 由 13,2322 yxkxy得04159) 13(22kxxk, 来源:学#科#网 Z#X#X#K则139221kkxx,且由0得1252k 由BNBM 得MNBP ,所以1kkBP, 即12122121kxxyy, 所以,1225 22121 kxxxxk ,将139221kkxx代入解得 125 322k, 所以36k 故存在满足条件的直线,其方程为23 36xy 【注】其它解法酌情给分. 10. （北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数
9、学文试题）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为3 2，长轴长为4 5，直线: = +l y x m交椭圆于不同的两点AB、（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）若直线l不经过椭圆上的点(4,1)M，求证：直线MAMB、的斜率互为相反数（）由题意知, 24 5a ，又因为3 2e ，解得=2 5, = 5, = 15abc故椭圆方程为22 1205xy 4 分（）将yxm代入22 1205xy并整理得22584200xmxm，22=(8 ) -20(4-20)0mm，解得55m 7 分（）设直线,MA MB的斜率分别为1k和2k，只要证明120kk设11( ,)A x y，22(,)
10、B xy，则212128420,55mmxxx x 9 分121221 12 121211(1)(4)(1)(4) 44(4)(4)yyyxyxkkxxxx122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8 (5)8(1)055xmxxmxx xmxxmmm mm分分所以直线MAMB、的斜率互为相反数 14 分11. （北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题）已知椭圆:M22221(0)xyabab，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A( 2,1)在椭圆M上. 直线l的斜率为2 2,且与椭圆M交于B、C两点（）求椭圆M的方程；（）求ABC面积的最
11、大值.解: ()由题意知222112ab a ，所以2b .故所求椭圆方程为22 142xy.5 分() 设直线l的的方程为2 2yxm,则0m .设1122(,),(,),B x yC xy代入椭圆方程并化简得22220xmxm, 6 分由22224(2)2(4)0mmm ,可得204m . () 由()，得21,222(4) 2mmx,故222 12231 ()2(4)3(4)22BCxxmm9 分 又点A到BC的距离为26md , 10 分故22113(4)226ABCmSBC dm22 2211(4)(4)2222mmm m,当且仅当224mm,即2m 时取等号满足()式.所以ABC面
12、积的最大值为2. 13 分12. （北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题）已知直线:1()l xmymR与椭圆22 :109xyCtt相交于,E F两点，与x轴相交于点B，且当0m 时，8 3EF .（）求椭圆C的方程；（）设点A的坐标为( 3,0)，直线AE，AF与直线3x 分别交于M，N两点.试判断以MN为直径的圆是否经过点B?并请说明理由. （）当0m 时，直线l的方程为1x ，设点E在x轴上方，由22 1,9 1xy t x 解得2 22 2(1,),(1,)33ttEF.所以4 28 33tEF ，解得2t . 3 分所以椭圆C的方程为22 192xy. 4 分来源
13、:学,科,网 Z,X,X,K（）由22 1,92 1xyxmy 得22(29)4160mymy，显然mR. 5 分设1122( ,),(,)E x yF xy,则121222416,2929myyy ymm. 6 分111xmy,221xmy. 又直线AE的方程为11(3)3yyxx，11(3),33yyxxx 解得116(3,)3yMx ，同理得226(3,)3yNx .所以121266(2,),(2,)33yyBMBNxxuuu u ruuu r , 9 分又因为121266(2,) (2,)33yyBM BNxxuuu u r uuu r12121212363644(3)(3)(4)(4)y yy y xxmymy1212 2 12124(4)(4)36 4 () 16mymyy y m y ym yy2222216(436) 16 416 4(29) 3216(29)mmm mm2226457664128576 9mmm0.13 分所以BMBNuuu u ruuu r ,所以以MN为直径的圆过点B. 14 分13. （北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点1( 3, )2P，离心率是3 2（）求椭圆C
