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一、非齐次与齐次线性方程组的概念,二、克兰姆法则及有关定理,6 克兰姆法则,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,设有线性方程组,(1),非齐次线性方程组,,若常数项 不全为零,则称(1)为,简记为,则称(2)为齐次线性方程组,,(2),若常数项 即,简记为,二、克兰姆法则,如果线性方程组(1)的系数行列式,则方程组()有唯一解,所得的一个 n 阶行列式,即,的元素用方程组(1)的常数项 代换,证明.,证毕.,例1 解线性方程组,解 方程组的系数行列式, 方程组有唯一解(1,2,3,1).,撇开求解公式,克兰姆法则可叙述为下面的定理,则方程组(1)一定有解,且解是唯一的,定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式,推论 如果线性方程组(1)无解或有两个不同解,,则方程组的系数行列式 必为零,则方程组(2)没有非零解,即只有零解,定理2 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,(2),对于齐次线性方程组,(2)的除零解外的解(若还有的话)称为非零解,注:,一定是它的解,称之为零解,推论 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则,它的系数行列式 d ,注:,在第二章中还将证明这个条件也是充分的,即,有非零解,例2 问 取何值时,齐次线性方程组有非零解?,解,若方程组有非零解,则, 当 时,方程组有非零解,