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1、在发明中学习 线性代数概念引入之三: 行列式,李尚志中国科学技术大学,一. 二元一次方程组的几何意义,行列式的定义,方程组,可写成向量形式,即,1. 有唯一解的条件,不共线,即,2. 消元: 方程(1.1)两边与,(1.1),作内积消去y, 得,其中,就是,同理得,图2,因此,于是,3. 二阶行列式 平行四边形面积,称为二阶行列式, 记作,是平行四边形 OAPB 的有向面积,是两个向量,或,的函数,计算公式:,或,图2,3. 代数算法,利用几何图形表达出来, 就是:,以上算法用到二阶行列式的如下基本性质,(1) det(a,b)可以看成向量 a,b 的乘积来展开: det(ka+k1a1, b
2、) = k det(a,b) + k1det(a1,b)det(a, kb+k1b1)= k det(a,b) + k1det(a, b1),如图,就是,(3) 面积单位:det(e1,e2)=1,由,(2) det(a,a) = 0 邻边重合,平行四边形退化为线段, 面积为 0.,det(e2,e1) = -det(e1,e2) = -1,det(a,b) = - det(b,a),知,det(u,v)=det(u,v+au),可写成,其中,二. 三阶行列式与体积,1. 三元一次方程组的几何意义,两边同时与,方程,作内积消去 y, z , 得到,类似地可以得到 y, z 的表达式。,当,时得
3、,从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使,则,就是以OA,OB,OC为棱的平行六面,体的有向体积。称为三阶行列式，记作,2. 三阶行列式 平行六面体体积,数学聊斋之三 人挤成与照片之维数变化,三十多年前到重庆，公共汽车很挤。有人形容为：人挤成照片了。三维的人挤成二维的照片，体积变成 0 。行列式两列(行)相等，也挤成照片。,3. 三阶行列式的基本性质,(3) det(e1, e2 , e3)=1 , e1,e2 ,e3 分别是三条坐标轴上的单位向量.,)可以看作,的乘积来展开.,(1) det(,(2) 如果三个向量 中有两个相等, 则 det( ) = 0 . 挤成 “照片” 将三个向量
4、中的任意两个互换位置, 则det( ) 变为原来值的相反数。,4. 利用基本性质计算三阶行列式,(2.1),这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 两两不相等的项。(2.1) 变成,当 i,j,k 中有两个相等时，,代入(2.2), 得,又,类似地有,(2.2),我们有,类似地有,三. n 阶行列式的引入,其中,n 阶行列式,它应具有以下基本性质：(1) 是 的某种乘积，可以按乘法法则展开。(2) 如果 n 个向量 中有两个相等, 则 = 0 。将n个向量 中的任意两个互换顺序， 则 变为 。(3) det(e1,e2,en)=1，其中 n 维列向量 ei 的第 i 分量为1、
5、其余分量为0。,是由,决定的 “n 维体积”,利用基本性质计算 n 阶行列式,(3.1),当 i1,i2,in 中有两个相等时，,这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和, 成为:,将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12n), 相应地将 变成,(3.2),以下只须对每个排列 求,可以证明, 的值由排列 唯一决定, 我们将 记为 sgn
6、 。则,sgn,代入(3.3) 得到,(3.3),于是得,这可以作为 n 阶行列式的定义。,(3.4),四. n 阶行列式的定义,1. 排列的奇偶性由 1,2,n 按任意顺序重新排列而成的 有序数组 称为一个 n元排列。将 1,2,n 按从小到大的顺序得到的排 列 (12n) 称为自然排列。 在任意一个排列 中, 可能出现 顺序“颠倒”的情况：p jq , 也就 是较大的数 jp 反而排在较小的数 jq 的前面。每出现一对这样的( jp, jq ) 称为这个排列的一 个逆序。,排列 中的逆序的个数称为这个排列的逆序数，记作 。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序 数为奇数的排列称为奇排列。例.
7、排列 (3142) 中的逆序共有 (3,1), (3,2), (4,2) 等 3 个, 因此 t(3142) = 3 , (3142) 是奇排列。自然排列 (12n) 的逆序数为0, 因此自然排列是偶排列。,将排列 中的某两个数码 jp, jq 互相交换位置, 称为这个排列的一个对换。每一次对换必然改变排列的奇偶性。每一个排列 都可以经过有限次对换变成自然排列 (12n) 。设排列 经过了 s 次对换变成自然排列。则当 s 为偶数时， 的奇偶性与自然排列相同, 是偶排列; 当 s 是奇数时， 的奇偶性与自然排列相反, 是奇排列。,将 n 个数 aij (i,j = 1,2,n) 排成 n 行n列的形式, 按如下方式计算：,2. n 阶行列式的定义,得到一个数，称为 n 阶行列式。,上面的式子中的求和号 表示对所有的排列 求和。,五. n 元线性方程组,可以写成,将 (5.1) 两边与,(5.1),点乘,可以消去除,外的所有未知数, 在,0 时得,(Crammer 法则),六. 行列式与秩,几何观点: 线性无关 秩为 n 生成的空间的维数 = n n 维体积 不为 0 代数运算: det A不为0 A = 0 只有零解 , x1A1+xnAn=0 只有零解.A1,A2,An 线性无关. 行列式秩: 存在r阶子行列式不为0, 对应的各列(行)线性无关.,谢谢,
