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1、- 1 -,习 题 课 6,解,得驻点,- 2 -,例2 求由曲线,与直线,所围的,平面图形的面积。,解,- 3 -,例3 在曲线,求一点，,使该曲线与过该点的,轴所围的平面图形的面积恰为该点的纵坐标。,解,设该点坐标为,则切线方程为,由题意知,或,所以所求的点为,切线及,- 4 -,例4 由原点作抛物线,的两条切线，,设切点分别为,求切线,及其抛物线所围,的平面图形的面积。,解,设切点坐标为,切线斜率为,切线方程为,切线过原点,- 5 -,得,切线方程为,- 6 -,例5 设曲边梯形是由连续曲线,与两直线,所围成的，求证：存在直线,将曲边梯形的面积平分 .,- 7 -,例6 抛物线,通过,原
2、点，,且与直线,所围的平面图形的面积为,1，,确定,使此平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋,转体体积最小。,解,抛物线,通过原点，,所以,与直线,所围的平面,图形的面积为1，,即,所以,- 8 -,所以,时旋转体体积最小。,绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积,- 9 -,例7,在抛物线,上求一点P ，,过该,点作抛物线的切线，,使抛物线、该切线与x 、y 轴所围,的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，,并求此最小体积。,解,设P 点的坐标为,则切线方程为,其与x、y 轴交点的坐标分别为,旋转体体积,- 10 -,令,得,为极小值点，,从而为最小值点,所以所求点为,最小旋转体体积为,- 1
3、1 -,例8 求摆线,的一拱,与,轴,轴所围的平面图形的面积，,及其绕,旋转一周,所得的旋转体体积。,解,- 12 -,- 13 -,例9 求,绕,旋转体的体积 .,旋转所成,解,- 14 -,例10 求半径为,两直交圆柱体的共同部分的体积,解,为积分区间，,建立如图所示的坐标系，,所以,- 15 -,例16 设曲线,为单调函数，并具有连续导数，,今在曲线上任取一点作,如果平行于,围成的面积是另一条平行线与,的面积的两倍，,求曲线方程.,过原点及点,且,两坐标轴的平行线，,轴和,轴和曲线,围成,的平行线与,曲线,解,设曲线上的任意一点的坐标为,则平行于,轴和,的平行线与,曲线,围成,的面积为,则平行于,轴和,的平行线与,曲线,围成,的面积为,- 16 -,由题意,即,所以,过点,所以所求曲线为,
