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1、第1 章 随机事件及其概率,1.1 随机事件,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 5 局便算赢家, 若在一赌徒胜 4 局 ,另一赌徒胜3局时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,概率论的诞生及应用,1. 概率论(Probability: The Science of Uncertainty )的诞生,概率统计理论与方法的应用几乎遍及所科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中，是从事经济管理工作的必不可少的工具。,2. 概率论的应用,“ 生活中最重要的问题，其中绝大多
2、数在实质上只是概率的问题.”法国数学家拉普拉斯,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,一、随机现象,这类现象在一定条件下具有多种可能的结果， 但是事先无法确定哪种结果。,实例 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.,2. 随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.,随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中,
3、这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,二、随机试验,1. (可重复性) 可以在相同的条件下重复地进行;,2. (可观察性) 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3. (不确定性) 试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验，常用字母E表示。,定义,2. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,3. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,判断下列试验是否为随机试验.,4. 从一大批
4、灯泡中任取一只,测试其寿命.,1. 掷一枚硬币，观察正反面出现的情况.,三、样本空间 样本点,样本空间 随机试验 E 的所有可能结果,样本点 试验E 的每一个结果,实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.,练,随机事件 样本点自身或若干个样本点组成的集合简称事件.通常用字母A,B,C 等表示。,四、随机事件,试验中,骰子出现1点,出现6点,点数不大于6, 点数为偶数等都是随机事件.,样本空间，样本点与随机事件的关系?,实
5、例 上述试验中 点数不大于6就是必然事件.,必然事件 每次试验中必然发生的事件。,不可能事件 任一次试验中不可能发生的事件.,实例 上述试验中 点数大于6 就是不可能事件.,必然事件和不可能事件虽是确定性事件，但可以看做特殊的随机事件.,实例 出现1点, 出现6点都是基本事件。,基本事件 仅含有一个样本点的事件。,复合事件 含有两个或两个以上样本点的事件。,五、随机事件间的关系及运算,事件,事件之间的关系与事件的运算,集合,集合之间的关系与集合的运算,1. 包含关系,若事件 A 发生, 必然导致 B 发生 ,则称事件 B 包含事件 A,记作,B 包含 A.,B,2. A等于B 若事件A 包含事
6、件B， 而且事件B 包含事件A，则称事件A 与事件B 相等，记作 A=B.,3. 事件 的和（并）,例 掷一颗骰子,A=点数小于3和B=点数为1或2,两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”，称为A与B的和。记作A B.,例,产品不合格,与长度不合格的关系.,S,A,例 A=出现偶数点和B=点数2,4. 事件的积 (交),事件A和B同时发生，称为事件A和事件B之积(交).,记作: AB或 .,S,A,B,AB,例 A=出现偶数点 和B=点数2,5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥),若事件A和事件B不能同时发生，则称事件 A与B互不相容, 即,图示 A 与 B 互斥.,S,“出现1点”
7、 “出现2点”,实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .,实例 抛掷一枚硬币, “正面向上” 与 “反面向上”是互不相容的两个事件.,B,6. 对立事件,7. 事件 A 与 B 的差,由“事件 A 发生而B 不发生”所组成的事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.,图示 A 与 B 的差.,S,A,B,例 A=“出现偶数点”和B=“出现点数2”,解,箱子内有40张奖券，其中有20张奖券能中奖，另外20张奖券空白，甲乙两人轮流在箱子中抽取奖券，每次只能抽一张且不放回，问甲先中奖的概率大还是乙先中奖的概率大？分别是多少？,思考题,1.2 随机事件的概率,三、概率的公理化定义,一、概率的统
8、计定义,二、概率的古典定义,通常，我们认为概率是事件出现的可能性大小。,如果事件一定出现，则它的概率为1；,如果事件肯定不出现，则它的概率为0。,一次投掷硬币掷出正面的可能性大小是？,方法一：根据对称性。,方法二：反复做试验，统计频率。,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,一、概率的统计定义,从上述数据可得,抛硬币次数 n 较小时, 频率的随机波动幅度较大, 但随着n 的增大 , 频率呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.,概率的统计定义
9、,当试验次数 n 较小时频率波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时，频率趋于稳定值p，则称p为事件A发生的概率记作P(A)，即P(A)=p.,注 概率完全由事件本身决定，是客观存在的。在许多实际问题中，往往采用在大量重复试验中事件发生的频率作为概率近似值。,若随机试验满足下面两个条件，称为古典概型的随机现象。,二、概率古典定义,（等概性）每个基本事件发生的可能性相同;,（有限性）所有可能的试验结果（基本事件） 只有有限个;,在古典概型中, 如果某个事件A包含n个样本点中的m个，则称m/n为事件A的概率，记为,古典概型之生日问题模型,某班有n个学生，设一年365天,则至少有两人生日相同的概率是多少?
10、,至少有两人生日相同的概率为,每个人生日都不相同的概率为,古典概率模型抽签问题,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A=第五个抽签的学生抽到入场券的概率。,基本事件总数,A事件中包含的基本事件总数,第五个学生抽到入场券,另外9个学生抽取剩下9张,三、概率的公理化定义,定义,设E是随机试验, 其样本空间为 ,对于E的每一,若满足下列三个条件:,1. 对每一个事件A ,有,3.若,是两两互不相容的事件，,个事件A赋予一个实数,记为P(A),则称,为事件A的概率.,则有,解,1.4 条件概率,三、全概公式,一、条件概率,二、乘法公式,10个
11、学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.,A=第1个抽签的学生抽到入场券 B=第2个抽签的学生抽到入场券,若A已发生,则B发生的概率为:,若A不发生,则B发生的概率为:,以上事件B发生的概率有什么不同的意义?,条件概率,一、条件概率,在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加条件下求事件的概率.,如在事件A发生的条件下,求事件B发生的概率，由于增加了新的条件：“事件A已发生”，所以称之为 条件概率，记作,抛掷一枚硬币两次，观察正反面出现情况，此随机试验的样本空间为：,正正，正反，反正，反反,B=正正，正反，反正,A=正正，反反,引例：抛掷一枚硬币两
12、次，观察正反面出现情况。设事件B为“至少有一次为正面”，事件A为“两次抛出为同一面”，求,故,事件B发生后，样本空间变为,正正，正反，反正,压缩样本法,条件概率定义（条件概率和原概率的关系）,例 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）. (1)已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率； (2)已知第二次取出的是黑球，求第一次取出也是黑球的概率.,第一次取到的是黑球的条件下，第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个，取到黑球的概率为2/9，即,第二次取到的是黑球的条件下，则第一次取球可能取到白球，即白+黑，有7*3=21，第一次取
13、球也可能取到黑球，即黑+黑，有3*2=6，故所求概率为,一、 在缩减的样本空间B中求事件A的概率,二、在总的样本空间中,先求事件 P(A)和P(AB),再按定义计算,例:在掷骰子的试验中,记A=2点,B=偶数点,在缩减的样本空间中A所含的样本点数,B发生后的缩减样本空间所含样本点数,计算条件概率 的方法,例 一箱产品有100件，次品率0.1，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验2件，若2件产品都合格，则准予该箱产品出厂，求一箱产品准予出厂的概率。,解,A=第一次抽到正品 B=第二次抽到正品,则准予出厂可表示为AB,二、乘法公式,这个公式的本质是乘法原理，积事件可以看做拆成两个步骤，其中一个发生，
14、另一个在前一个发生的基础上再发生。,例 一箱产品有100件，次品率0.1，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验3件，若3件产品都合格，则准予该箱产品出厂，求一箱产品准予出厂的概率。,解,A=第一次抽到正品 B=第二次抽到正品,C=第二次抽到正品,则准予出厂可表示为ABC,例 皇上给囚犯出了个难题：给他两个碗，一个碗里装50个小黑球，另一个装50个小白球。规则是把他的眼睛蒙住，让他选一个碗，并从碗里拿出一个球。如果是黑色的，就要继续关监狱，如果是白色的，就重获自由。但是蒙住眼睛之前，允许用任何方式把球进行混合。如果你是囚犯，怎么混合？,解,如果不混合，则挑一个碗拿出一个白球的几率是1/2.,三、全
15、概公式,如果把所有的球混合在一个碗里，然后再拿出一个白球放在另一个碗里，则重获自由的几率是？,A=取出的是白球 Bi=从第i个碗中取球,因为取出的是白球，它可能是第一个碗中取出的，也可能是第二个碗中取出的，故A=AB1AB2,利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不 同情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.,例 医院用某种检验法诊断肝癌，确定患有肝癌的病人用此法检验时出现“+”的概率为0.95，未患肝癌的健康人用此法检验时出现“-”的概率为0.9，已知该地区肝癌的患病率为0.0004，试问(1)一个人被此法诊断为患有肝癌（即出现“+”）的概率.(2)若一个人被此法诊断患有肝癌时，此人的确患有肝癌的概率.,解：设H表示“被检验者患有肝癌”，A表示“判断被检验者患有肝癌”（即检验为“+”）.,贝叶斯公式考虑的是一事件已经发生,考察该事件 发生的各种情况或途径的可能性 .,思考题,A,B,C三人对决，每人两枪，每次一枪，A的技术较差，命中率0.3，A先选择，B的命中率0.8，第二位选择，C是神枪手，命中率1，最后选择。每次轮到某位选择时，他可以选择向两个对手之一开枪，或者对空开枪，请问A的最优策略是什么？请用概率说明。,1.5 事件的独立性,则有,引例,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记A表示“抽到K”,B表示“抽到的牌是黑色的”,求,
