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1、直线与平面垂直,鹤华中学 数学科组,问题:空间中直线与平面有几种位置关系?,线 面 位置关系,一:复习引入,在平面内,平行,旗杆与地面垂直,(1)创设情境感知概念,二.线面垂直定义的建构,你还能举出生活中哪些直线与平面垂直的例子?,想一想,电线杆和地面垂直,路灯与地面垂直,思考:(1)书脊AB与桌面上经过B点的直线有什么关系?(2)书脊AB与桌面上不过B点的直线有什么关系?(3)书脊AB与桌面上的任意直线有什么关系?,结论:直线AB垂直于平面内的任意一条直线,那么它就垂直于这个平面,A,(2)观察归纳形成概念,如果一条直线 l 垂直于平面 内的任意一条直线,我们就说直线 l 与平面 互相垂直。
2、,平面 的垂线,垂足,记作:,l,直线与平面垂直的定义:,(2)观察归纳形成概念,线面垂直,线线垂直,特别注意,三、实验探究得出定理如果直线l与平面内的一条(两条,无数条) 直线垂直,则直线和平面互相垂直?,(1)一条直线,(3)两条平行直线,(2)无数条直线,(4)两条相交直线 ?,猜想:直线l与平面内的两条相交直线垂直,那么此直线与这个平面垂直。,l,探究:动手操作验证猜想,如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:,实验: 过 的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触),当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直线与桌面所在平面 垂直,
3、如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?,文字语言:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。,直线和平面垂直的判定定理:,线线垂直 线面垂直,判定定理,性质,垂直,内,相交,符号语言:,图形语言:,例1 如图,已知 ,求证,根据直线与平面垂直的定义知,证明:在平面 内作两条相交直线m,n,因为直线 ,,四:典型例题,练习一 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,,1、与平面ABCD垂直的直线有 _。,2、与直线AB垂直的平面有_ _ _,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,巩固练习,(1)、若一条直线与一个三角形的两条边垂 直,则这条直线垂直于三角形所在的
4、平面。( ) (2)、若一条直线与一个平行四边形的两条 边垂直,则这条直线垂直于平行四边 形所在的平面。( ) (3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直, 则这条直线垂直于梯形所在的平面。 ( ),练习二:判断正误,例2 如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一 点,且PA=PC.求证:AC 平面PBD.,C,P,B,A,D,O,三、判定定理的应用,证明:设 ,连结,因为 ,O为AC的中点,又四边形 为菱形,,所以,而PO、BD是平面PBD的两条相交直线,所以,所以,练习三、如图,P为圆O所在平面外的一点,AB是圆O 的直径,C 是圆周上一点,且PA 平面o所在的平面。,求证:BC 平面PAC,证
5、明:, PA 平面o 又BC 平面o, PA BC,又 C为 O一点,AB为 O的直径, BC 平面PAC, BC AC 而PA AC于C,空间问题,平面问题,五:小结,线线垂直,线面垂直,(1)本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?请用自己的语言表述。(2)直线与平面垂直的判定定理中体现了那些数学思想方法?,定理,性质,定义 定理,课后思考: 有一旗杆高m,在它的顶点处系两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它们的两下端固定在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点都和旗杆脚距离为6m,则旗杆和地面垂直,为什么?,分析:本题最终结论是直线与平面垂直,那么只要说明旗杆与地面上两条相交直线垂直即可.,认真想一想!,课后思考(P79 B组2),如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,,求证: B1D A1C1B,六:布置作业1、如图,在三棱锥A-BCD中,AD BD,AD DC, 求证:AD BC。2、已知PA平面ABC,AB是 的直径,C是圆上的任一点, 求证:PCBC 3、如图,PA平面ABC,BCAC, 写出图中所有的 直角三角形。,第1题图,第2题图,第3题图,谢谢大家,