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1、3.4 线性系统的稳定性分析,常用词汇 稳定性 stability 必要条件 necessary condition 充分条件 sufficient condition,一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、稳定措施是控制系统的重要内容。 本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响。,线性控制系统稳定性的定义为：,线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零(或原平衡工作点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定； 若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定； 若在初始扰
2、动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。,临界稳定marginally stable/critical stable,稳定性是表征系统在扰动撤消后自身的一种恢复能力，因而它是系统的一种固有的特性。 指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。,3.4.1 线性系统稳定的充要条件 （sufficient and necessary condition),由于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描述。 如果脉冲响应函数是收敛的，即
3、有(3-52) 表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数收敛是一致的。,如果 (3-53) 则系统是不稳定的。 如果 (3-54) 则系统是临界稳定的。,由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏变换。 令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则其传递函数可写为,(3-55),式中，,式(3-55)用部分分式展开，得对上式取拉氏反变换，求得系统的时域脉冲响应为,t0,(3-56),由式(3-56)可见， 若系统的特征根全部为负实部(negative real part)根，则式(3-52)成
4、立，系统稳定； 若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式(3-53)成立，系统不稳定； 若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，式(3-54)成立，系统临界稳定。,虚部 imaginary part 负实部 negative real part 复数根 complex root 实根 real root,综上所述，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面。,右半平面 right-half plane 左半平面 left-half plane,注意： 对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系
5、统输出必为有界函数。 对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。,3.4.2 系统稳定的必要条件,令系统的特征方程为(3-57) 如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。稳定的必要条件（依系数判稳） ： 在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数。,设P1、P2、为实数根。 、 、为复数根。其中，P1、P2、和 、 、都为正值，则式(3-57)改写为即,(3-58),因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有系数为零项。 反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实
6、部为正的复数根，则由式(3-58)可知，对于方程式s的各次项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。,不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。,3.4.3 劳斯稳定判据 (Rouths stability criterion),由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部的问题。 由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程的根，而是根
7、椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号（间接的方法）。,设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表,由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是： (1) 如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在s的左半平面(left-half plane)，相应的系统是稳定的。 (2) 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在的s右半平面(right-half
8、 plane)上的个数。,例3-2 已知三阶系统特征方程为判断系统稳定的充要条件。 解：列劳斯表为根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且bcad。,例3-3 设系统特征方程为 使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。 解：列劳斯表如下因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。,两种特殊情况：,劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计算下一行第一元素时出现无穷现象。 解决的办法是以一个很小的正数 代替为零的该项，继续劳斯表的列写。若劳斯表第
9、一行的系数符号有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根(complex-conjugate root)存在，相应的系统也属不稳定。,例3-4 设系统的特征方程为 试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。 解：基于方程中s2项的系数为零，s一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表,由上表可见，其第一列 项上面与下面的符号变化了两次。根据劳斯判据，可知
10、该方程有两个根在s的右半平面。若用因式分解的方法，把原方程改写为由上式解得s1,2=1，s3=2，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。,(2) 如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根(real root)和(或)共轭虚根。 对于这种情况，可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，用导数的系数来代替表中系数为全零的行。 如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。 辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。,例3-5 系统的特征方程为试判稳。 解：劳斯表如下：,由于s3这一行
11、的元素全为0，致使劳斯表无法继续往下排列。现用它上一行的系数组成如下的辅助多项式上式对s求导，得,用系数为4和6代替s3这行中相应的0元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知系统不稳定，有一个正实部根，由P(s)=0得求得两对大小相等、符号相反的根为 ，显然，这个系统是处于临界稳定(marginally stable/critical stable)状态。,劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位于平面上给定垂线 的右侧根的数目。 只要令 并代入原方程中，得到以 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂直线 的右侧。 用此法可
12、以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,例3-6 用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂直线s=1的右方。 解：列劳斯表 由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于s的左半平面，相应的系统是稳定的。,令s = z1代入特征方程，经化简后得因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线s=1的右方。列出以z为变量的劳斯表由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线s=1的右方。,3.4.4 赫尔维兹判据,该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳定性。设系统的特征方程为以特征方程式
13、的各项系数组成如下行列式,赫尔维兹判据指出，系统稳定的充分必要条件是在 的情况下，上述行列式的各阶主子式 均大于零，即,例3-7 系统的特征方程为 ， 判断系统的稳定性。 解：系统行列式由赫尔维兹判据，该系统不稳定。,例3-8 系统的特征方程为 ，判断系统的稳定性。 解：系统行列式由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为由上式可知二阶系统稳定的充要条件是特征方程的所有系数均大于零。,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,劳斯表介绍,劳斯表特点,1 右移一位降两
14、阶,2 次对角线减主对角线,3 分母总是上一行第一个元素,4 一行可同乘以或同除以某正数,劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,均大于零!,劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3
15、,4= -2,-3,例3-z 已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。解 根据方程列劳斯表由于表中第一列上面系数的符号与其下面系数符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。,把上述方程分解成为因式相乘的形式，即有,于是得方程的根为 . 这与用劳斯判据所得的结论是相吻合的。,1 3 52 4 05 05系统不稳定，且有两个正实根。,例3- 解,END,6.劳思判据的应用,1、劳思判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的位置，但实际上，若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，由于 很小，系统的动态过程将具有缓慢的非周期性或强烈的振荡特性。为了改善系统性能，常常希望在S左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。为此，我们作一条 的垂线。而a是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定距离，通常称为稳定度或稳定裕量 然后用新变量s1=s+a代入原系统特征方程，得到以S1为变量的新特征方程，对新特征方程用劳思判稳。,
