《【新步步高】2016-2017学年高二数学苏教版必修5 2.2.3等差数列的前n项和(二) 课件 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【新步步高】2016-2017学年高二数学苏教版必修5 2.2.3等差数列的前n项和(二) 课件 (20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.3 等差数列的前n项和(二),第2章 数列,目标定位,学习目标,1 进一步熟练掌握等差数列的前n项和公式; 2 掌握等差数列前n项和的最值问题; 3 理解an与Sn的关系,能根据Sn求an.,重、难点,重点:等差数列的前n项和公式. 难点:理解an与Sn的关系,能根据Sn求an,学习目标和重难点,新知探究,(一)等差数列前 n 项和 与 的关系,问题1. 根据数列前n项和的定义,你能用 表示 吗?,答: = 1 ,=1 1 ,2 ;,新知探究,例1. 已知数列an的前n项和为 S 2 ,求数列an的通项公式,【解析】由题意 = 2 (1) 1 = (1) 2 ( 1) (2) 当 2
2、时,由得 =2 1 2 又 当 =1 时, 1 = 1 = 3 2 . 也满足式. 数列an的通项公式为 =2 1 2,(一)等差数列前 n 项和 与 的关系,新知探究,变式1-1. 已知数列an的前n项和为 S 2 +1,求数列an的通项公式,【解析】由题意 = 2 1 2 +1 (1) 1 = (1) 2 1 2 1 +1 (2) 当 2 时,由得 =2 1 2 又 当 =1 时, 1 = 1 = 5 2 . 显然不满足式. 数列an的通项公式为 = 5 2 ,=1 2 1 2 ,2 .,(一)等差数列前 n 项和 与 的关系,新知探究,变式1-2. 已知数列an满足a12a2nann(n
3、1)(n2),求an.,【解析】令bnnan,则bn的前n项和Snb1b2bnn(n1)(n2),当=1 时,b1S16;当2 时,bnSnSn1n(n1)(n2)(n1)n(n1)3n(n1)显然,b16也适合 bn3n(n1) an3(n1),(一)等差数列前 n 项和 与 的关系,新知探究,解题反思:如何由数列的前n项和 =f (n) 求数列的通项an?,答:解题时要分类讨论: (1)当 2 时,anSnSn1; (2)当 1 时,a1S1. 最后再验证a1是否符合an,若符合,则统一用一个解析 式表示,否则就要写成分段式.但要注意以 的展开式表示的前n项和,比如变式2 .,(一)等差数
4、列前 n 项和 与 的关系,新知探究,问题2. (1)等差数列 的通项公式 = 1 + (1) 2 与二次函数有什么关系? (2)若数列 的通项公式是二次函数 = 2 +,其中 0, 为常数,那么这个数列是等差数列吗?若是,首项和公差分别是多少?,(二)等差数列前 n 项和与二次函数的关系,新知探究,答:(1) 数列是关于序号n的函数,为此将数列的通项公式变形为关于n的函数: = 2 2 +( 1 2 )显然,当0 时, 是关于序号n的二次函数,其图像是抛物线 2 2 +( 1 2 ) 上一系列孤立的点,d决定了该抛物线的开口方向.,(二)等差数列前 n 项和与二次函数的关系,新知探究,(2)
5、 = 2 +(1) 1 =( 1) 2 + 1 + (2) 当 2 时,由得 =2+ 又 当 =1 时, 1 = 1 =+. 当 =0 时,式也适合式,则 =2+ ;当 0 时,式不适合式,则 = + 2+ . 由等差数列与一次函数的关系,当 =0 时, 是等差数列; 当 0 时, 不是等差数列 .,(二)等差数列前 n 项和与二次函数的关系,新知探究,例2一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和,【解析】(方法一) 设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则 = 1 + (1) 2 . 由已知得 10 1 + 109 2 =100 100 1 + 1009
6、9 2 =10 ,解得 1 = 1099 100 = 11 50 110 =110 1099 100 + 110109 2 11 50 =110,(二)等差数列前 n 项和与二次函数的关系,新知探究,(方法二) 设 Snan2bn. S10100,S10010, 10 2 +10=100 100 2 +100=10 ,解得 = 11 100 = 111 10 = 11 100 2 + 111 10 100 = 11 100 110 2 + 111 10 110=110,(二)等差数列前 n 项和与二次函数的关系,新知探究,解题反思:如何求涉及等差数列前n项和的综合问题?,答:涉及等差数列前n项
7、和的综合问题,可以用基本量求解,也可以用待定系数法求解.,变式2. 等差数列an的前n项和为Sn,若S1284,S20460,求S28.,【答案】1092,(二)等差数列前 n 项和与二次函数的关系,新知探究,(三)等差数列的前 n 项和的最值,问题3. 根据二次函数的图像和性质,讨论Sn何时有最大值?何时有最小值?,答:根据等差数列前n项和与二次函数的关系和二次函数的性质,(1)当d 0时,Sn有最小值;(2)当d 0,0 时,数列的前若干项为负数,把这些项相加即得 S 的最小值;,新知探究,例3. 等差数列an中,a125,S17S9,问数列前多少项之和最大,并求此最大值,(三)等差数列的
8、前 n 项和的最值,【解析】(方法1)由a125,S17S9得17a1 1716 2 d9a1 98 2 d,解得d2. Sn25n (1) 2 (2)(n13)2169.由二次函数的图像和性质,该数列前13项之和最大,最大值是169.,新知探究,(三)等差数列的前 n 项和的最值,(方法2) 由a125,S17S9得17a1 1716 2 d9a1 98 2 d,解得d2. 由S17S9 得a10a11a170 a10a17a11a16a13a140. 又 a1250 a130,a140 由 =252(1)0 +1 =2520 ,得 27 2 25 2 又 当n13时,Sn有最大值169.,
9、新知探究,(三)等差数列的前 n 项和的最值,解题反思:怎么求等差数列前n项和Sn的最值?,答:(1)用等差数列前n项和的函数表达式SnAn2Bn,通过配方或求二次函数最值的方法求得,(2) 在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数图象求解,还常用邻项变号法来求解,即 当a10,d0时,满足 0 0 的项数n,使Sn取最小值,新知探究,(三)等差数列的前 n 项和的最值,变式3. 已知等差数列an,a23,a45,求等差数列an的前n项和Sn的最大值,【解析】 在等差数列an中,= 4 2 2 =4,a1a2d7, = 1 + (1) 2 2n29n2(n 9 4 )2 81 8 . 又 N 当n2时,Sn的最大值是10.,