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1、2.1 数 列 2.1.2 数列的递推公式(选学),明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,明目标、知重点,1.理解递推公式是数列的一种表示方法. 2.能根据递推公式写出数列的前n项. 3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.,填要点记疑点,1.递推公式 如果已知数列的 (或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.,第一项,前一项an1,2.数列的表示方法 数列的表示方法有 、 、 、.,通项公式法,图象法,列表法,递推,公式法,探要
2、点究所然,情境导学,某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的研究产生了著名斐波那契数列an：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144， 此数列具有an1anan1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要研究的重点内容.,探究点一 数列的递推公式,思考1 观察：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？ 答 首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即an2an11(n1且nN).,思考2 观察下面两个数列
3、如何用首项及相邻两项的关系表示出这两个数列？ (1)a12，a24，a38，a416，a532，；,答 a12，从第2项开始，每一项是它前一项的2倍， 因此该数列可以用如下方式表示： a12，an2an1 (n2,3,4，)；,(2)1，cos 1，cos(cos 1)，cos(cos(cos 1)，. 答 a11，ancos(an1) (n2,3,4，).,小结 像上面那样，如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法.,反思与感悟 递推公
4、式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项.,跟踪训练1 在数列an中，已知a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项. 解 a12，a23， a33a22a133225， a43a32a235239， a53a42a3392517， a63a52a43172933.,例2 已知直线l：yx与曲线C：y( )x(如 图所示)，过曲线C上横坐标为1的一点P1作x 轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲 线C于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线C于P
5、3，设点P1，P2，Pn，的纵坐标分别为a1，a2, ，an，试求数列an的递推公式.,点Qn1与Pn的纵坐标相同，都是an， 同时点Pn1与Qn1的横坐标相等，点Pn1在曲线C：,由横坐标得它的纵坐标为 即an1 这就是数列an的递推公式.,反思与感悟 解答本例的关健是在读懂题意的前提下，通过具体的点P2与点Q2的横坐标相等及点Q2与点P1的纵坐标相同，抽象出一般性的点Qn1与Pn的纵坐标相同，点Pn1与Qn1的横坐标相等，从而找到了an1与an的关系.,跟踪训练2 数列an中，an1an2(nN)，则点A1(1，a1)，A2(2，a2)，An(n，an)分布在( ) A.直线上，且直线的斜
6、率为2 B.抛物线上，且抛物线的开口向下 C.直线上，且直线的斜率为2 D.抛物线上，且抛物线的开口向上,A1，A2，A3，An在斜率为2的直线上.故选C. 答案 C,探究点二 数列的递推公式的应用,思考1 对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立.试根据这一结论，已知数列an满足：a11，an1an2，求通项an. 答 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1),(1)写出数列an的前5项；,(2)求数列an的通项公式.,an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,反思与感悟 由递推公式求通项公式的技巧 (1)由数列的递推公式求通项
7、公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧. (2)当anan1f(n)且满足一定条件时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1来求an.,跟踪训练3 已知数列f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n. (1)求数列an的通项公式；,解 因为f(x)2x2x，f(log2an)2n，,(2)证明：数列an是递减数列.,又因为an0，所以an1an， 所以数列an是递减数列.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.数列1,3,6,10,15，的递推公式是( ) A.an1ann，nN B.anan1n，nN，n2 C.an1
8、an(n1)，nN，n2 D.anan1(n1)，nN，n2,B,1,2,3,4,2.已知数列an满足a12，an1an10(nN)，则此数列的通项an等于( ) A.n21 B.n1 C.1n D.3n 解析 an1an1. ana1(a2a1)(a3a2)(anan1),D,1,2,3,4,3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：,按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_.,解析 a13，a2325，a33227，a432229，an2n1.,an2n1,1,2,3,4,(1)写出数列的前5项；,1,2,3,4,(2)猜想数列的通项公式.,呈重点、现规律,1.递推公式的理解与应用 (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.,(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项. (4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.,2.数列的通项公式与递推公式的作用和联系,
