电磁场导论第二章

《电磁场导论第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场导论第二章（90页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章 静电场,主 要 内 容电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、典型计算方法、电容和部分电容、电场能量与电场力,2.1 电场强度、电位2.2 高斯定律2.3 静电场基本方程分界面上衔接条件,2.4 唯一性定理 2.5 典型计算方法2.6 电容和部分电容2.7 电场能量与力,1. Coulomb定律,真空中任意两个静止点电荷q1和q2之间作用力的大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比，方向沿q1和q2 连线方向。,叠加原理,真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两间的作用力，不受其它电荷存在的影响。多个电荷体系中某个电荷受到的作用力是其余电荷与该电荷单独存在时作用力矢量代数和

2、。,2. 电场强度,电场对某点单位正试验电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。,式中，q 为试验电荷的电荷量； F 为电荷 q 受到的作用力。,3. 静电场的电位,电场强度可以表示为一个标量函数的负梯度，这个标量函数就是静电场的位函数，简称电位() 。所以有,电位的单位是伏(V)。 因此电场强度的单位为伏/米( V/m ) 。,位于源点 r处的点电荷q，在 r 处产生的电位为：,物理意义：,电荷分布在有限区域时，选无限远处作电位参考点：,单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。,若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获

3、知此时电位及电场强度与电荷的面密度 S 及线密度l 的关系分别为:,电位相等的曲面称为等位面，其方程为,几种电场线和等位面的分布,4. 电力线与等位面,电场线方程,例1 计算电偶极子的电位及电场强度。,解 由于电位及电场强度均与电荷量的一次方成正比。因此，电偶极子产生的电位应为,若观察距离远大于间距 l ，则可认为 , ，,于是求得：,乘积 q l 称为电偶极子的电矩，以 p 表示，即,那么电偶极子产生的电位可用电矩 p 表示为,已知 ，求得电偶极子的电场强度为,可见电偶极子的 ， ，而且两者均与方位角 有关。,电偶极子的电场线和等位线,1. 真空中的高斯定理,实验表明，真空中静电场的电场强度

4、 E 满足下列两个积分形式的方程,右式表明真空中静电场的电场强度穿过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的电荷量与真空中的介电常数之比。称为高斯定理。,真空中任意一点电场强度的散度，等于该点的电荷量与真空中的介电常数之比。电场强度是空间中所有的电荷产生的，与其他点电荷有关，但其他点的电荷在该点产生的散度为零。,高斯定理的微分形式：,2. 介质极化,导体中的电子称为自由电子，其电荷称为自由电荷。介质中的电荷不会自由运动，因此称为束缚电荷。,在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象称为极化。无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。,介质极化现象是逐渐形成的。自外电场Ea 加入

5、发生极化后，一直达到动态平衡的过程如下图所示。,介 质,合成场Ea+ Es,单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以P 表示，即,式中， pi 为体积 V 中第 i 个电偶极子的电矩；N 为V 中电偶极子的数目。,式中e 称为极化率，它是一个正实数。,大多数介质发生极化时， ，令,3. 介质中的静电场方程,在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为,式中， q 为自由电荷； 为束缚电荷。,令 ，求得,此处定义的 D 称为电通密度。,可见，介质中穿过任一闭合面的电通密度的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。,上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用散度定理不难推出其微分形式为,该式

6、表明，某点电通密度的散度等于该点自由电荷的体密度。,已知各向同性介质的极化强度 ，求得,令,式中， 称为介质的介电常数。,则,？,由于 ，,因此,相对介电常数 r 定义为,几种介质的相对介电常数,1,各向异性介质的电通密度与电场强度的关系为,可见，各向异性介质中，电通密度和电场强度的关系与外加电场的方向有关。,均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止介质的介电常数与时间无关。,例2 设在半径为a的球体内分布着电荷体密度为0 的电荷，试计算空间中任意点的电场强度。,当 r a 时，,例3 设半径为a，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱内

7、、外的电场强度。,选取圆柱坐标系，由于场量与 z 坐标无关，且上下对称，因此电场强度一定垂直于 z 轴。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度 无关。,因此，可以利用高斯定律求解。,取半径为 r ，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律，得,因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为,当 r a 时，则电荷量q 为 , 求得电场强度为,a2 可以认为是单位长度内的电荷量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为a2 的线电荷产生的电场。,因此线密度为 的无限长线电荷的电场强度为,由上可见，对于无限长圆

8、柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。,（1）电场是一种保守场。,静电场几个重要特性,（2）静电场的电场线既不能闭合的也不可能相交。,（3）若电荷分布已知，计算静电场的方法是：,直接根据电荷分布计算电场强度,通过电位求出电场强度,利用高斯定律计算电场强度,由上两式可以求出电场强度的散度及旋度分别为,左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。,真空中静电场是有散无旋场。,1. 真空中静电场方程,2. 两种介质的边界条件,由于介质的特性不同，引

9、起场量在两种介质的分界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。,通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。,n normalt tangential, 电场强度的切向分量,在两介质的边界面两侧的电场强度切向分量相等。, 电通密度的法向分量,两种介质边界上电通量密度的法向分量不相等。,3. 介质与导体的衔接条件,导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面，即,1. 电位微分方程,利用电位与电场强度E的关系,对于线性各向同性的均匀介质，电位满足的微分方程式为,泊松方程,拉普拉斯方程,对于无源区， ，上式变为,分布在V

10、中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位为,第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。,第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。,第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄里赫利问题。,2. 边界条件,3. 解的存在、稳定及惟一性问题,惟一性： 在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。,稳定性： 当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否有很大的变化。,存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。,若静电场边界为导体，给定导体上的电位就是第一类边界。若在此基础上再给定了导体表面上的

11、电荷量就是第二类边界。当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。,静电场的边值问题 根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。,对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程,在无源区，电位满足拉普拉斯方程,利用格林函数，可以求解泊松方程。,利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。,1. 镜像法,实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。,这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，这种方法称为镜像法。,（1）点电荷与无限

12、大的导体平面,以一个镜像点电荷q代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即,依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。,关键：确定镜像电荷的大小及其位置。,局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。,（2）点电荷与接地导体球,令镜像点电荷q 位于球心与点电荷q的连线，则球面上任一点电位：,镜像电荷电量必须选择为：,为使镜像电荷具有确定值，必须要求比值 对于球面上任一点均具同一数值。若OPq OqP ，则,镜像电荷,镜像电荷离球心距离,（3）线电荷与带电的导体圆柱,在圆柱轴线与线电荷之间

13、，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像线电荷 。,因此，离线电荷 r 处，以 为参考点的电位为,已知无限长线电荷产生的电场强度为 ，,若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点，则 及 在圆柱面上P点共同产生的电位为,已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值,与前同理，可令,（4）点电荷与无限大的介质平面,=,+,对于上半空间，可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。,对于下半空间，可用位于原点电荷处的 q 等效原来的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的均匀空间。,必须使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度

14、的法向分量应该保持连续，即,已知各个点电荷产生的电场强度分别为,代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：,例 已知同轴线的内导体半径为a，电压为U，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。,解 对于该边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。,求得,选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为,利用边界条件：,最后求得,求得,为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系是非常重要的。,对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。,分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。,为了求解三维拉普

15、拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。,分离变量法对于3种坐标系都是行之有效的。,3. 直角坐标系中的分离变量法,在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为,令,式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。,代入上式，两边再除以 ，得,同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。,令各项的常数分别为 ，求得,式中，kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程,由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。,